René Thom, el matemático que prefería la comprensión al rigor

En mayo de 1940, mientras Alemania invadía Francia, René Thom, de 16 años, terminaba bachillerato en Montbeliard, su pueblo natal. Seis años después –tras haber terminado su carrera en la prestigiosa Escuela Normal Superior, donde le rechazaron en su primer intento de entrar–, cursaba un doctorado en matemáticas en la Universidad de Estrasburgo. Allí conoció a varios miembros del grupo Bourbaki, entonces inmersos en su tarea de reescritura de las matemáticas modernas. Y también allí comenzó sus trabajos en geometría que le llevarían a ganar la medalla Fields una década después.

Su trabajo permitió clasificar, de forma efectiva, los distintos tipos de formas geométricas que existen. Podemos explicar la clasificación en matemáticas por analogía, tal y como haría el propio Thom, con la clasificación taxonómica en biología. Cada forma geométrica, al igual que cada animal, pertenece a una especie, y estas se agrupan en géneros, que a su vez se agrupan en familias. Más arriba tenemos el orden, el filo, la clase y el reino. En biología, para realizar esta clasificación, se identifican ciertos caracteres –como el pelo o las escamas– que luego usan para distinguir a los animales de distintos grupos. En matemáticas, se trata de hacer algo parecido.

En el año 1854 Bernhard Riemann definió con cierto rigor el concepto de especie en el contexto de la geometría, que hoy llamamos “variedad riemanniana”. Durante los siguientes 100 años, varios matemáticos descubrieron ciertos caracteres geométricos que permitían distinguir distintas especies. Por ejemplo, la característica de Euler o los números de Betti.

Asimismo, se introdujeron otros conceptos geométricos análogos al de género o al de familia. No obstante, del mismo modo que estamos muy lejos de conocer todas las especies o géneros biológicos que hay sobre la tierra, no era esperable conocer todas las especies o géneros geométricos; había demasiados. Todo cambió cuando, a principios de los años 1950, René Thom introdujo una clasificación análoga a la de reino, mucho más arriba en la jerarquía taxonómica.

Thom estableció que dos formas geométricas estaban en el mismo reino geométrico si se podía transformar una en la otra usando un cierto tipo de proceso. Por ejemplo, cuando una célula se subdivide, su membrana celular comienza teniendo la forma de una esfera, pero tras la subdivisión, pasa a tener la forma de dos esferas. El proceso geométrico por el que la primera esfera se convierte en las otras dos se llama cobordismo y mantiene los objetos en el mismo reino. La figura del toro también está en el mismo reino que la figura de la esfera, aunque el proceso geométrico que se ha de usar es distinto al mencionado.

No contento con eso, Thom encontró y clasificó todos los posibles reinos geométricos. Esta hazaña, sin precedentes en la historia de la geometría, dio pie a una revolución que aun continúa. Tal fue el impacto, que en las siguientes tres ediciones de la medalla Fields siempre ganó algún geómetra cuyo trabajo partió de la nueva clasificación de Thom: John Milnor (en 1962), Stephen Smale (1966) y Sergei Novikov (1970).

Poco después de obtener la medalla Fields, Thom obtuvo una posición permanente en el Institut des Hautes Études Scientifiques francés, donde creó una nueva base matemática para la biología o la semiótica: la teoría de las catástrofes. Con ella, pretendía abordar procesos en los que se rompe la continuidad, como sucede durante el desarrollo de un embrión.

En su autobiografía, Thom vincula su cambio radical de tema de investigación con su encuentro con el matemático Alexandre Grothendieck: “Su superioridad técnica era apabullante. Su seminario atrajo a todos los matemáticos de París, mientras que yo no tenía nada nuevo que ofrecer. Eso me hizo abandonar el mundo de las matemáticas puras y abordar nociones más generales, como la teoría de la morfogénesis, un asunto que me interesaba más y me condujo a una forma muy general de biología filosófica”.

Su punto de vista filosófico, continuador de Heráclito y Aristóteles, consideraba que la obsesión por la exactitud era un obstáculo para el entendimiento. “Si debo elegir entre rigor y comprensión, escojo sin duda lo último”, afirmaba. Prefería las explicaciones cualitativas a las cuantitativas y era muy crítico con las matemáticas modernas –promovidas, especialmente, por sus antiguos colegas de Bourbaki–, que, desde su punto de vista, sólo reconocían el álgebra como fuente de rigor –mientras que Thom prefería la geometría–.

Paradójicamente, la mayor aportación de Thom –su clasificación de formas geométricas– contribuyó a reducir la geometría al álgebra, tal y como observa ácidamente el matemático francés y cofundador de Bourbaki, Jean Dieudonné, en una carta abierta a Thom en 1972: “Resulta irónico que Thom, que claramente siente aversión al álgebra, será recordado por su manera original de usarla en su teoría del cobordismo”.

Federico Cantero Morán es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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