De los hombres pájaro a los hermanos Wright: las matemáticas que nos ayudaron a surcar el aire

En estos momentos hay entre ocho mil y veinte mil aviones surcando el cielo simultáneamente en el mundo. Cada uno de estos vuelos es posible gracias a las matemáticas, en aspectos que van desde la planificación del consumo del combustible al diseño y mejora de los aparatos. Los primeros vehículos que permitieron al ser humano alzarse sobre la superficie terrestre (globos aerostáticos, dirigibles, planeadores y aviones) se sustentaron en diversos conceptos geométricos, algebraicos o analíticos.

En el siglo IX, los hombres pájaro se convirtieron en precursores de la aviación. Sin un soporte teórico y únicamente con la esperanza de poder volar, abrían las alas tejidas a sus trajes y se lanzaban de grandes alturas, fallando una y otra vez en el intento. Tras ellos, el primer vuelo en paracaídas, más o menos exitoso, fue realizado por el químico, físico y matemático Abbas Ibn Firnás (810, Ronda; 887, Córdoba) en ese mismo siglo, lo que sentaría las bases para los futuros diseñadores de aeronaves.

La trigonometría y la geometría clásica desempeñaron un papel esencial en el estudio de la aviación durante este primer periodo; permitieron a los pilotos y navegantes calcular distancias, ángulos y altitudes con mayor precisión. En concreto, fueron clave los métodos trigonométricos que el matemático árabe Al-Biruni había desarrollado entre los siglos X y XI para resolver problemas astronómicos y geodésicos, como la medición del radio de la Tierra.

Las primeras aeronaves que surcaron los cielos fueron las “más ligeras que el aire”, que se llenan con helio o hidrógeno, de manera que su peso total es menor que el peso del aire que desplazan. Ejemplos de estas aeronaves son el globo aerostático, cuyo primer vuelo fue realizado por los hermanos Montgolfier; y el dirigible, diseñado en Alemania por Ferdinard von Zeppelin. Para definir su diseño y estabilidad se usaron los estudios sobre proporciones y volúmenes que Leonardo Fibonacci había hecho en los siglos XII y XIII. También se emplearon sus trabajos sobre proporciones armónicas, para establecer las dimensiones de diferentes componentes de las aeronaves (como las alas, fuselajes u otros elementos), lo que dio como resultado diseños armónicos y estéticamente agradables.

En los siglos del XVIII al XIX, las investigaciones en geometría permitieron desarrollar perfiles de alas más eficientes. Un perfil aerodinámico es una forma geométrica, normalmente curva, presente en alas de aviones, aspas de helicópteros, alerones y timones, diseñada para optimizar el comportamiento de una superficie que interactúa con un flujo de aire, garantizando el menor arrastre posible causado por el viento.

Matemáticos como Daniel Bernoulli estudiaron la geometría de las alas y también otros aspectos estructurales, que buscaban lograr, por primera vez, el vuelo de una aeronave más pesada que el aire. Aunque no lo consiguió, el trabajo de Bernoulli fue clave para comprender la interacción existente entre el aire y los objetos. De hecho, uno de los teoremas que propuso se sigue empleando hoy en día en una de las explicaciones de por qué vuelan los aviones. Este determina cómo la velocidad del viento, al interactuar con las alas, causa una distribución de presiones que elevan un avión.

Otro enfoque frecuente para justificar el vuelo de las aeronaves recurre a la tercera ley de Isaac Newton: las partículas del viento son direccionadas hacia abajo, lo que causa la fuerza de levantamiento en el avión. Efectivamente, las leyes del movimiento y de la gravitación universal formuladas por Newton en el siglo XVII (una descripción matemática precisa de cómo los cuerpos se mueven en el espacio) fueron la base para establecer los principios del vuelo de los aviones en tiempos cercanos a su invención. Sin embargo, en la actualidad hay otras explicaciones más aceptadas, basadas en el uso de la dinámica de fluidos computacionales.

En 1799, el británico George Cayley desarrolló el perfil de ala simétrica, en el que la parte superior como la inferior son iguales, uno de los primeros perfiles aerodinámicos reconocidos. Sin embargo, el verdadero avance en el diseño de perfiles aerodinámicos no se produjo hasta finales del siglo XIX, con nuevas investigaciones exhaustivas sobre la aerodinámica de las alas. Fue entonces cuando Otto Lilienthal realizó numerosos vuelos en planeadores (aeronaves diseñadas para volar sin motor). A través de sus experimentos, recopiló datos y refinó perfiles aerodinámicos que maximizaban la sustentación y minimizaban la resistencia.

Unos años más tarde, en 1903, los hermanos Wright fueron los primeros en lograr el vuelo motorizado controlado. Su trabajo, basado principalmente en experimentos con túneles de viento, es la base en la comprensión de la forma de las palas en los motores turbofán, los más utilizados en los aviones comerciales actualmente. Este tipo de motores contiene un ventilador de gran tamaño que comprime el aire entrante, el cual es mezclado con combustible, generando gases de alta velocidad que son expulsados para propulsar la aeronave. El diseño óptimo de la geometría de estos vehículos permite reducir la resistencia del aire, ahorrando combustible, reduciendo el ruido de los motores y evitando turbulencia durante los vuelos.

Desde comienzos del siglo pasado, la industria aeronáutica ha evolucionado de manera abrupta gracias al uso de herramientas teóricas y computacionales, diversos teoremas, ideas y teorías matemáticas que se emplean en el análisis y la optimización de diversos aspectos de la aviación. A esto dedicaremos un siguiente artículo de Café y Teoremas.

Yoshua Díaz Interian es investigador predoctoral en el Instituto Politécnico Nacional (México).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

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