Curvas y curvaturas

Hay espadas de todos los tamaños y de las formas más variadas; pero no es casual que, como veíamos la semana pasada, la mayoría de las veces sus hojas sean rectas o arcos de circunferencia, y una de las razones es porque solo estos dos tipos de hojas pueden envainarse. La circunferencia es la única curva plana con una curvatura uniforme, por lo que un arco de circunferencia puede deslizarse por toda ella. Y una recta también tiene una curvatura uniforme -curvatura nula- y un segmento puede deslizarse por toda su longitud. Hay una tercera curva que puede “envainarse”, pero no es plana: la hélice cilíndrica (el típico muelle) y no parece muy adecuada para dar forma a la hoja de una espada.

Decir que una recta tiene una curvatura nula es algo que, intuitivamente, tiene sentido, puesto que no está nada curvada; pero ¿qué se entiende exactamente por curvatura y cómo se cuantifica? En primer lugar, hay que tener en cuenta que la curvatura se define en cada punto, no es una propiedad general de toda la curva, salvo en el caso de la circunferencia (de momento nos limitaremos a las curvas planas). En una elipse, por ejemplo, es evidente que en los extremos del eje mayor la curvatura es más acentuada que en los del eje menor.

Una definición rigurosa de la curvatura exige echar mano del cálculo diferencial (cosa que no haremos aquí, y menos en agosto); pero, siguiendo a Arquímedes, podemos dividir una curva cualquiera en diminutos fragmentos consecutivos y considerar que cada uno de ellos es un arco de circunferencia (es un “truco” parecido al de considerar que un círculo es un polígono de infinitos lados); pues bien, el radio de curvatura en cada punto es el radio de la circunferencia que mejor se ajusta a la curva en ese punto, y la curvatura, que se suele expresar con la letra k, se define como el inverso de ese radio: k = 1/r.

Huevos y ovoides

El ovoide (denominado así porque parece la sección longitudinal de un huevo) constituye un caso sencillo, puesto que no está formado por arcos de circunferencia infinitesimales, sino por cuatro muy concretos y visibles: una semicircunferencia en la base, dos amplios arcos laterales simétricos y un pequeño arco más cerrado en la punta.

Si tomamos como unidad el radio de la semicircunferencia de la base, ¿cuál es la curvatura de las distintas partes del ovoide? Tal como muestra la figura, los extremos del diámetro de la semicircunferencia de la base (que es el eje menor del ovoide) son los centros de los arcos laterales. Con esta información, ¿cómo podemos dibujar un ovoide, con regla y compás, dado su eje menor?

Y pasando de la matemática a la física y de la física a la biología, ¿por qué la mayoría de los huevos son ovoides (valga la perogrullada)? ¿No sería mejor que fueran redondos? A igual volumen, la esfera tiene una superficie menor, por lo que supone un menor consumo de calcio para generar la cáscara, y a la vez es más resistente. Y sin embargo…

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física,Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.