Las matemáticas que dejó Stephen Hawking

Sin lugar a dudas el físico contemporáneo más conocido es el recientemente fallecido Stephen Hawking. Alcanzó su fama a partir del libro de divulgación Una breve historia del tiemp¨, y esta fue amplificada por las difíciles circunstancias desde las que hizo gran parte de su contribución científica: desde una silla de ruedas y comunicado a través de una máquina que él operaba con el movimiento de los ojos. Sin embargo, su legado matemático, de gran impacto en la comunidad científica, ha pasado más inadvertido para el público.

Entre sus aportaciones destacan los teoremas sobre las llamadas singularidades, en colaboración con el físico matemático Roger Penrose. A partir de estos trabajos, las singularidades pasaron a ser una parte integral de la teoría de la relatividad general. El concepto de singularidad es complejo y admite varias versiones. En los teoremas de Hawking, que el espacio-tiempo contenga una singularidad equivale a decir que es (geodésicamente) incompleto. La geodésica es la generalización del concepto de línea recta para espacios curvos. Por ejemplo, en el caso de la superficie de una esfera, las geodésicas son los segmentos de las circunferencias máximas. En el universo relativista, la luz sigue siempre trayectorias geodésicas. Que el espacio-tiempo sea singular, quiere decir que al seguir la trayectoria de la luz, llega un momento en el que desaparece de forma abrupta.

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Los teoremas de Hawking y Penrose afirman que las singularidades aparecen de forma habitual tanto en cosmología, es decir, en la descripción del universo en su conjunto, como a la hora de describir objetos compactos como son las estrellas. En concreto, sus trabajos sirvieron para cimentar la teoría de los agujeros negros y del Big Bang, ambos ejemplos de singularidades. Las partículas que entran en un agujero negro desaparecen para nosotros, y algo parecido ocurre en el Big Bang, con el tiempo invertido: si seguimos una partícula yendo hacia al pasado, acercándose a ese momento primigenio del universo, llega un momento en el que desaparece.

Las ecuaciones que describen los agujeros negros y el Big Bang son consecuencia de la teoría de la relatividad general, que estaba respaldada desde el principio por experimentos; sin embargo, estas ideas fueron tratadas durante mucho tiempo como un invento de ciencia ficción. Las objeciones provenían, en parte, de su carácter tan extraño, contra intuitivo, que dificultaba imaginarlas: los agujeros negros son objetos que absorben cualquier cosa, incluso la luz; y el Big Bang establece que el universo estuvo contraído a un tamaño muchísimo más pequeño que el de una canica.

Además, algunos físicos argumentaban que los modelos eran demasiado simples y, por lo tanto, poco realistas. Aseguraban que, si se partiese de condiciones más generales, se vería que eran consecuencia de la simplificación. Por ejemplo, para obtener las ecuaciones de los agujeros negros se imponía la hipótesis de que fuesen objetos completamente esféricos, aunque esta perfección no existe en la realidad. En el modelo cosmológico del Big Bang se partía de un universo homogéneo e isótropo (igual en todas las direcciones), cosa que sólo es cierta de forma aproximada.

Hawking y Penrose demostraron que no eran necesarias las hipótesis de esfericidad u homogeneidad para obtener las singularidades, partiendo de hipótesis físicas razonables y utilizando argumentos muy generales. Así, quedó demostrado y zanjado que las singularidades son reales, y no fruto de simplificaciones. Sin embargo los teoremas no explican otros aspectos insatisfactorios de la singularidad, por ejemplo, ¿qué pasa con la partícula que desaparece? ¿Por qué sucede esto? Una pregunta parecida es ¿y qué ocurrió antes del Big Bang? ¿Todo surge de la nada? Hay muchas respuestas parciales a estas preguntas, pero ninguna con el rigor y la generalidad de los teoremas de Hawking-Penrose, que sin duda fueron un antes y un después en las implicaciones de la teoría de la relatividad general, y quedarán para siempre.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.