La madre de los enunciados fácil-difícil

Hay muchos enunciados en matemáticas que por su sencillo planteamiento pueden parecer fáciles de demostrar, esos sobre los que cualquiera con tiza y pizarra podría hacer comprobaciones. Pero cuando uno intenta meterles mano se da cuenta de que no, de que tras esa aparente sencillez se esconde una dificultad que cuesta mucho sobrepasar.

Algunos ejemplos famosos son el último teorema de Fermat o el teorema de la curva de Jordan. Pero si tuviéramos que elegir al máximo exponente de estos enunciados “fácil-difícil” (fáciles de plantear y entender pero difíciles de demostrar), seguro que muchos elegirían a la famosísima conjetura de Goldbach.

A estas alturas, seguro que la gran mayoría de los lectores conocerán esta conjetura, pero por si acaso queda aún alguien que no sepa de qué estamos hablando os dejo su enunciado a continuación:

Todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos.

Os dejo algunos ejemplos:

4 = 2 + 2

16 = 11 + 5

58 = 53 + 5

1000 = 997 + 3

Podéis intentar vosotros descomponer otros números pares como suma de dos primos, y si con alguno no podéis os dejo esta página que lo hace por vosotros. Por cierto, no he sido capaz de encontrar el límite de cifras de la página, a ver si alguien lo sabe y nos lo comenta.

La historia de este problema comienza en 1742, cuando Christian Goldbach se la propone al gran Leonhard Euler mediante el envío de esta carta (un apunte: en aquella época se consideraba al 1 como número primo, pero ahora ya no es así).

Euler, el receptor de la carta, no consiguió ni demostrar ni refutar la conjetura que le envío Goldbach. Y, aunque no son pocos los matemáticos que le han dedicado tiempo desde entonces, nadie ha podido hasta ahora. Por tanto, actualmente seguimos sin respuesta para la conjetura de Goldbach.

La conjetura podría ser cierta, pero no tenemos demostración que lo acredite; y podría ser falsa, pero tampoco tenemos demostración de ese hecho ni un contraejemplo de la misma (un número par que no pueda escribirse como suma de dos números primos). Se sabe que lo que dice este enunciado es cierto para una gran cantidad de números (todos los pares menores que 10¹⁸ lo verifican), pero por aquí ya sabemos que eso sólo es un “indicio de veracidad”, no nos sirve como demostración (¿os acordáis de la conjetura de Polya?).

A día de hoy, la conjetura de Goldbach sigue tal cual estaba en 1742: sin respuesta.

En la actualidad, a este resultado se le denomina conjetura fuerte de Goldbach, ya que hay otra parecida conocida como conjetura débil de Goldbach. Esta dice lo siguiente:

Todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

La débil se deduce de la fuerte, así que si tuviéramos una demostración de la fuerte automáticamente la débil quedaría demostrada; pero la fuerte no se deduce de la débil, por lo que si tuviéramos una demostración de la débil seguiríamos sin saber si la fuerte es cierta o falsa.

¿Se sabe algo de la débil? Pues sí, desde 2013 sabemos que la conjetura débil de Goldbach es cierta. Esto fue demostrado por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott, y podéis ver las líneas generales de su demostración aquí (en inglés) y aquí (en español). Por si alguien se lo pregunta, lo comento aquí: según indican los expertos en teoría de números, las técnicas usadas por Helfgott para demostrar la conjetura débil de Goldbach no parecen ser útiles a la hora de afrontar la demostración de la conjetura fuerte. Una lástima.

A pesar de que multitud de matemáticos han trabajado sobre este problema y lo han atacado con todo tipo de técnicas (tanto básicas como avanzadas), la conjetura de Goldbach, casi con toda seguridad, el problema matemático abierto que más personas “creen” haber demostrado. En internet puedes encontrar algunas de estas supuestas demostraciones, y los correos electrónicos de muchos matemáticos de la actualidad suelen recibir alguna con cierta frecuencia.

Yo mismo he recibido unas cuantas desde que me dedico a escribir sobre matemáticas. Algunas de ellas contienen errores (algunos de bulto); otras utilizan un lenguaje tan enrevesado (en ocasiones hasta incorrecto) que casi impiden su revisión; en otras ocasiones me he encontrado que con unos cuantos particulares pretenden dar la conjetura como demostrada; también me he encontrado argumentos circulares (en algún lugar de la demostración utilizan que la conjetura de Goldbach es cierta para demostrar la propia conjetura); y en otros casos lo que me ha llegado eran auténticas locuras que no merecía la pena ni leer.

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De todas ellas, posiblemente el caso más sonado de los últimos tiempos fue la supuesta demostración de la conjetura de Goldbach por parte de dos químicos españoles del CSIC. Después de investigar por mi cuenta, hablar con uno de los dos protagonistas y consultar a varios expertos, publiqué mis conclusiones en este artículo. Evidentemente, su trabajo no demostraba nada.

Y, para terminar, comentar que la fama de la conjetura de Goldbach ha saltado de las matemáticas a otros campos. Un ejemplo muy conocido es la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis, donde esta conjetura es protagonista destacada. Y otro ejemplo, más “patrio”, es la película La habitación de Fermat, en la que esta conjetura de Goldbach juega también un papel principal. Si conocéis más lugares tipo estos en los que aparezca la conjetura de Goldbach, estaremos encantados de que nos habléis de ellos en los comentarios.