El gran salto entre creer y demostrar

Muchas son las conjeturas matemáticas que, después de llevar muchos años propuestas, siguen sin demostración. Entre ellas, las que versan sobre ciertas propiedades de números son especialmente interesantes para cualquiera que tenga conocimiento de ellas, ya que su planteamiento suele ser sencillo y también suele estar al alcance de la mayoría el hecho de comprobar su veracidad o falsedad para un gran número de casos.

Un ejemplo muy conocido es la denominada conjetura de Collatz. Esta conjetura, formulada por Lothar Collatz en 1937, dice lo siguiente:

Como decía, la conjetura de Collatz es fácil de comprender por cualquier persona, y también es sencillo comprobar si se verifica o no en un buen número de casos, ya que las operaciones a realizar no son nada complejas.

Si realizáis esas operaciones con algunos números, posiblemente veréis que se cumple en todos los casos. Por ejemplo, probemos con el 11:

Os invito a que probéis vosotros mismos con otros números, pero mucho cuidado al elegirlos, ya que hay algunos números bastante bajos que necesitan más de 100 pasos (por ejemplo, el 27 llega al bucle final después de 112 pasos).

Hasta donde yo sé, en la actualidad se sabe que es cierta para todos los números menores que 2⁵⁸, pero la conjetura de Collatz sigue sin demostración. El hecho de que se sepa que es cierta para números tan grandes nos puede inducir a pensar que es cierta siempre, pero en matemáticas necesitamos una demostración para asegurarlo, y en este caso todavía no la tenemos.

Otro ejemplo muy conocido es la llamada conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach en una carta enviada a Leonhard Euler en 1742. Dicha conjetura tiene una formulación aún más sencilla que la anterior:

Simple, clara y fácilmente verificable, al menos para números no muy grandes. Por poner algunos ejemplos:

14 = 11 + 3

46 = 29 + 17

90 = 83 + 7

172 = 167 + 5

496 = 257 + 239

2016 = 2003 + 13

Aunque se cree que son ciertas, tanto la conjetura de Collatz  como la conjetura de Goldbach siguen, a día de hoy, sin demostración

Se sabe que la conjetura de Goldbach es cierta para todos los números menores que 10¹⁸. Esto, unido a que hace cuatro años se demostró la llamada conjetura débil de Goldbach (aquí podéis ver las líneas generales de la demostración comentadas por su propio autor, Harald Andrés Helfgott), hacen razonable pensar que se cumple siempre, que es cierta en todos los casos. Pero, como en el caso anterior, seguimos sin demostración de la conjetura de Goldbach, así que por ahora no podemos asegurar que es cierta, ni tampoco que es falsa.

Y hay muchísimos ejemplos más, algunos de los cuales serán tocados en este blog en próximas entregas. En todos esos casos, las evidencias computacionales nos llevan, habitualmente, a asumir que es más que probable que esas conjeturas sean ciertas, pero, como reza el título de este artículo, de creer a demostrar hay un gran salto que no podemos obviar.

Y para muestra un botón, que, por cierto, es la razón principal de este artículo. Vamos a ver un nuevo ejemplo de conjetura numérica y vamos a contar su historia.

Sabemos que los enteros positivos pueden descomponerse como producto de sus factores primos (excepto el 1, cuya descomposición es él mismo, 1). Por ejemplo, 25=5·5 y 30=2·3·5. Vamos a decir que un número es de tipo par si en su descomposición aparece un número par de primos (contando las repeticiones), y que un número es de tipo impar si es su descomposición aparece un número impar de primos. Con estas definiciones, 25 sería de tipo par y 30 de tipo impar. Por cierto, consideramos que el 1 es de tipo par, ya que, como el 1 no es primo, en su descomposición aparecen cero números primos (y cero es par).

Ahora vamos a tomar un cierto número entero positivo N y vamos a analizar de qué tipo son los números menores o iguales que él. Hagámoslo primero con un ejemplo, N=17. Tenemos que 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15 y 16 son de tipo par y 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13 y el propio 17 son de tipo impar. Es decir, hay ocho de tipo par y nueve de tipo impar.

Veamos otro ejemplo, N=20. En este caso, 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15 y 16 son de tipo par y 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19 y el propio 20 son de tipo impar. En este caso, también se cumple que hay más de tipo impar (doce contra ocho).

Y uno más, N=10. Ahora tenemos que 1, 4, 6, 9 y el propio 10 son de tipo par y 2, 3, 5, 7 y 8 son de tipo impar, por lo que en este caso tenemos igual cantidad de números de tipo par que de tipo impar.

Teniendo claro todo esto ya podemos enunciar la conocida como conjetura de Pólya:

Llamando I(N) a la cantidad de números de tipo impar menores o iguales que N y P(N) a la cantidad de número de tipo par menores o iguales que N, la conjetura de Pólya dice que, para todo entero positivo N mayor que 2, siempre se cumple que I(N) ≥ P(N).

El matemático húngaro George Pólya introdujo esta conjetura en 1919, y en los años posteriores se comenzaron a hacer comprobaciones numéricas mientras se buscada una demostración. En poco tiempo se comprobó que la conjetura era cierta para todo N hasta 1000000, por lo que, como en los casos de Collatz y Goldbach, la creencia era que la conjetura debía ser cierta…

…y tiene sentido, como ya hemos comentado. Conforme vamos aumentando el valor de N vemos que el enunciado de Pólya es siempre cierto, ninguno de los valores de N que analizamos nos dan un contraejemplo (es decir, un caso que no cumple el enunciado). Tiene sentido pensar que podría no haber contraejemplos…pero no significa que no los haya.

En 1958, el matemático inglés Colin Brian Haselgrove demostraba que la conjetura de Pólya era falsa en su trabajo A disproof of a conjecture of Pólya. Tema resuelto, aunque sin contraejemplo explícito. Haselgrove no encontró ninguno, pero estimó que habría uno del orden de 1’8 · 10³⁶¹.

Como decíamos, tema resuelto, pero con un regusto amargo. Con la demostración ya sabemos que habrá algún número que no cumpla la conjetura de Pólya, pero sin un ejemplo explícito nos quedamos a medias, ¿verdad?

Pues tranquilos, que hay más. En 1960, R. Sherman Lehman encontraba un contraejemplo de la conjetura de Pólya. Concretamente, descubría que el número N=906180359 cumple que P(N) es mayor que I(N) en una unidad, hecho que publicó en su trabajo On Liouville’s Function. Este número, bastante más pequeño que la estimación de Haselgrove, se convertía así en el primer contrajemplo explícito de la conjetura de Pólya. Más adelante, en 1980, Minoru Tanaka encontraba otro contraejemplo algo menor, N=906150257. Podemos ver su trabajo en A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function.

De hecho se descubrió más. Concretamente, se sabe que, después de ser cierta para muchísimos valores, la conjetura de Pólya falla para la mayoría de los valores de N entre 906150257 y 906488071. El hecho de que una función denominada función de Liouville, en términos de la cual se puede escribir la conjetura de Pólya, tenga un máximo en un punto de ese intervalo parece que tiene mucho que ver en ello. Investigar y profundizar en esta parte del estudio de la conjetura de Pólya queda ya a elección del lector interesado.

El caso de la conjetura de Pólya debe servirnos para darnos cuenta de que en matemáticas no podemos vivir solamente de indicios o evidencias, sino que tenemos que llegar hasta el final, tenemos que encontrar una demostración de nuestra creencia o un argumento que la invalide. Mientras no tengamos alguno de esos dos datos, nuestra conjetura se quedará en eso, en una conjetura.

Y ahora os pregunto: ¿conocéis más casos de conjeturas que resultaran ser falsa a pesar de que se tuvieran suficientes indicios para pensar que podrían ser ciertas? Contádnoslo en los comentarios.