El teorema de Van Aubel

En el año 2011, la Real Sociedad Matemática Española cumplía 100 años. Para celebrar este centenario, la RSME programó una buena cantidad de actividades, entre las que estaba la propuesta de cuarenta desafíos matemáticos, en colaboración con El País, con sorteos de colecciones de libros de matemáticas entre las personas que consiguieran resolver cada uno de ellos. De hecho, se siguen proponiendo desafíos especiales algunos veranos y, sobre todo, en Navidad.

Estos desafíos trataron diversas ramas de las matemáticas (teoría de números, geometría, probabilidad…), y fueron presentados principalmente por matemáticos de toda la geografía española. De hecho, el que escribe estas líneas tuvo el gran honor de proponer uno de ellos, concretamente el que hacía el número 39.

El mío fue un desafío geométrico que involucraba triángulos, cuadrados, distancias y ángulos. Y no es de extrañar, ya que los que pasáis habitualmente por aquí sabéis que me gusta mucho la geometría. Véanse, por ejemplo, el artículo sobre la circunferencia de Feuerbach, el de la fórmula de Euler, el del centro del triángulo o el de las líneas con nombre.

Volviendo a mi desafío (por cierto, aquí os dejo la propuesta del mismo y la solución), quería hablar hoy del resultado matemático que lo motivó. Dicho resultado es un teorema geométrico muy bonito pero no demasiado conocido que responde al nombre de teorema de Van Aubel, en honor al matemático holandés Henri Van Aubel.

Este teorema nos dice lo siguiente:

Lo más sorprendente de este teorema es que, como puede leerse en el enunciado, es válido para cualquier cuadrilátero. Sí, sí, cualquiera. Se cumple para cuadriláteros convexos, como el de la siguiente imagen:

Pero también se cumple para cuadriláteros no convexos, como podemos ver en la figura siguiente:

E, incluso, para cuadriláteros en los que hay intersecciones entre sus lados. A continuación podéis ver un ejemplo:

Y, por si fuera poco, si los cuadrados que dibujamos son “internos” en vez de “externos”, el teorema se sigue cumpliendo. Vamos, un teorema de esos que nos gustan, de los que con poquito que les demos nos lo ofrecen todo, de los que necesitan poco para mostrarnos toda su belleza.

Las imágenes que os he mostrado antes son muy buenas para apreciar la maravilla de teorema que tenemos delante, pero la realidad es que son imágenes estáticas de casos concretos. Os podría haber enseñado con ellas algunos casos particulares en los que el teorema sí se cumpliera, pero no podríamos ver qué ocurre con otros cuadriláteros. Por ello, como suelo hacer en artículos de geometría plana como este, os dejo a continuación un applet de GeoGebra con el que podéis jugar con los vértices del cuadrilátero inicial (A, B, C y D) y comprobar, ahora sí, que los segmentos citados en el teorema (MO y NP) miden lo mismo y son perpendiculares:

Con este applet interactivo muchos se habrán convencido de la veracidad del teorema de Van Aubel, pero seguro que muchos otros (y con mucha razón) necesitan de una demostración para tener claro que el teorema es cierto. Pues, a pesar de la fuerza (da igual cómo sea el cuadrilátero inicial) y la belleza del resultado, no es muy complicado demostrarlo.

Os animo a intentarlo vosotros mismos, y para ello os dejo una sugerencia que os puede ayudar a ello: utilizar el resultado que yo demostré en el desafío 39 puede ser interesante. Si tenéis alguna duda, o si queréis mostrarnos vuestros progresos, podéis usar los comentarios para hablarnos sobre ello.

La geometría es una de las ramas de la ciencia más olvidadas en la educación secundaria. Muchos teoremas geométricos maravillosos que se estudiaban en otras épocas en esta etapa ya han desaparecido del currículo, por lo que los estudiantes de la actualidad se están perdiendo auténticas maravillas matemáticas. Estaría bien que les echarais una mano hablándoles, en los comentarios de este artículo, sobre otros teoremas geométricos que os parezcan dignos de ser recordados. Muchas gracias.