La circunferencia de Feuerbach o por qué me encantan los triángulos

El tema que nos ocupa hoy puede ser considerado como una de esas “sorpresas”. Vamos a explicarlo detenidamente, pasa así poder percibir todos los detalles de esta maravilla de la geometría plana.

Tomamos un triángulo plano cualquiera, el que sea, y marcamos en él los puntos medios de cada uno de sus lados. Podemos ahora dibujar una circunferencia que pase por esos tres puntos:

Hasta ahora poca sorpresa, ya que por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia. Vamos, lo normal.

Dibujamos ahora las tres alturas del triángulo, que son los tres segmentos que van desde cada uno de los vértices a la recta a la que pertenece el lado opuesto a dicho vértice y que son perpendiculares a esa recta. Si marcamos ahora los tres puntos de intersección de estas alturas con las rectas opuestas, se tiene que “curiosamente” dichos puntos también están en la circunferencia anterior:

Aquí la cosa comienza a ser interesante. Como hemos dicho, que tres puntos no alineados estén en una circunferencia es obligatorio, pero que sean ya seis puntos los que caen en la misma circunferencia tiene su gracia.

Pero aún hay más.

Como muchos habréis advertido, las tres alturas que hemos dibujado se cortan en un punto, que se denomina ortocentro. Bien, localizado el ortocentro marquemos ahora los puntos medios entre este punto y cada uno de los vértices. Obtenemos así tres nuevos puntos…¡¡que también están en la circunferencia anterior!!

Ya no son tres (lo normal) ni seis (interesante) los puntos calculados que caen en la misma circunferencia, sino nueve. El interés se torna ahora en sorpresa y, por qué no, en incredulidad. Pues no hay razón para ser incrédulo en este caso. Dicha circunferencia se denomina circunferencia de los nueve puntos, y el hecho de que esos nueves puntos caigan en dicha circunferencia es un teorema matemático (vamos, que tiene su demostración).

Pero no queda ahí la cosa. Tenemos una circunferencia a la que pertenecen nueve puntos que podemos agrupar en tres grupos de tres puntos dependiendo de la manera en la que los hemos encontrado. Pero lo que tenemos es una circunferencia. ¿Y cuál es el punto más representativo de una circunferencia? Pues, posiblemente, es el centro. ¿Por dónde caerá el centro de nuestra interesante circunferencia? ¿Estará por ahí, digamos, situado aleatoriamente? ¿O, por el contrario, tendrá alguna relación con el triángulo? Veámoslo.

Recordáis que teníamos calculado el ortocentro del triángulo, ¿verdad? Pues vamos a calcular otro punto relacionado con un triángulo. Trazamos las mediatrices de cada lado del triángulo (son las rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por los puntos medios de los mismos), y advertimos que las tres se cortan en un único punto. Ese punto se denomina circuncentro.

Bien, pues se da la circunstancia de que el centro de la circunferencia de los nueve puntos es, exactamente, el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro. No solamente en nuestro triángulo, ni en un triángulo con unas características específicas, sino en todos los triángulos. ¿No os parece hermoso?

Para que podáis visualizar mejor todo esto, os dejo un applet interactivo de GeoGebra con todo lo que hemos contado. Podéis mover los vértices del triángulo y ver que en todos los casos esos nueve puntos están en la misma circunferencia. También podéis comprobar que el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro es el centro de nuestra circunferencia viendo que todos los segmentos que unen dicho punto con los nueve anteriores siempre miden lo mismo:

Y en este pdf tenéis información sobre cómo demostrar este resultado, entre otras muchas cosas relacionadas con geometría.

La circunferencia de los nueve puntos también es conocida como la circunferencia de Feuerbach, porque el matemático alemán Karl Feuerbach (hermano del filósofo Ludwig Feuerbach) descubrió que la circunferencia pasaba por los puntos medios de los lados y también por los cortes de las alturas (los seis primeros puntos que hemos comentado en la construcción anterior), pero también se conoce con el nombre de circunferencia de Euler (aunque parece ser que no hay razones significativas para atribuir a Euler algo relacionado con este resultado). El primero que descubrió que la circunferencia también pasa por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices fue el matemático francés Olry Terquem.

Como habéis podido comprobar, no hay ninguna duda de que esta circunferencia de Feuerbach es uno de los objetos geométricos más interesantes que se pueden encontrar en geometría plana. Pero seguro que muchos de vosotros conocéis otros teoremas geométricos dignos de ser citados. Estaremos muy agradecidos si nos habláis de ellos en los comentarios.