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BLOGS Por MIGUEL ÁNGEL MORALES
GEOMETRÍA

Líneas con nombre

Varias son las rectas del triángulo que, por sus interesantes características, han sido estudiadas desde hace siglos. Te las presentamos

Que por dos puntos cualesquiera de un plano pasa una única recta es algo que creo que todos recordamos de nuestra época en el colegio. El hecho de que la misma recta pase por tres puntos definidos o calculados de maneras distintas ya podría ser algo merecedor de ser reseñados. Y si son más de tres la cosa se torna ya en, al menos, relativamente sorprendente. Hoy veremos un interesante ejemplo de este hecho relacionado con los centros del triángulo.

Como comentaba Francesc Ossat en este comentario del artículo sobre los centros del triángulo de hace dos semanas, es cierto que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo son colineales. Esto significa que, independientemente de cuál sea el triángulo inicial, ortocentro, baricentro y circuncentro están siempre en la misma recta.

Estos tres puntos, definido cada uno de ellos de una manera, siempre caen en la misma recta. Que dos caigan en una misma recta es lo que pasa siempre por definición; que sean tres los que cumplan esa propiedad ya es digno de mención, como comentábamos al principio. Por ello, dicha recta tiene nombre: recta de Euler o línea de Euler, ya que fue el gran Leonhard Euler quien demostró este hecho por primera vez.

La demostración de Euler es relativamente larga, pero por suerte disponemos de demostraciones más simples. A pesar de que algunas no son demasiado complicadas, no vamos a reproducirlas en este artículo (ya que excede el propósito del mismo), pero sí vamos a hacer algunos comentarios sobre la línea de Euler que considero que pueden ser interesantes.

Si el triángulo es equilátero, baricentro, circuncentro y ortocentro son exactamente el mismo punto. En otro caso, se tiene siempre que el baricentro es un punto interior del segmento que va desde el ortocentro hasta el circuncentro. Además, si llamamos B al baricentro, C al circuncentro y O al ortocentro, siempre se tiene que CO (longitud del segmento que va de C hasta O) es el triple de CB y BO es el doble que CB.

Y, posiblemente, la más curiosa (que además está relacionada con un objeto que ya hemos visto en este blog) es la siguiente: el punto medio del segmento que va del ortocentro al circuncentro es…el centro de la circunferencia de nueve puntos. Sí, la circunferencia de Feuerbach que presentamos en El Aleph hace unos meses. Pues sí, su centro es exactamente el punto medio del segmento que une ortocentro y circuncentro. Y todo esto se cumple en cualquier triángulo plano que se os ocurra dibujar. No me digáis que no es precioso.

Como es habitual cuando hablamos de geometría plana, os dejo un applet de GeoGebra en el que podréis jugar con los vértices de un triángulo y a la vez tendréis la oportunidad de contemplar todas las propiedades que hemos descrito en este artículo:

Y quiero aprovechar esta ocasión para mostraros otra línea con nombre. Se trata de la línea de Simson (que no Simpson), y su nombre se debe al matemático escocés Robert Simson. Veamos cómo construirla.

Partimos de un triángulo cualquiera y dibujamos su circunferencia circunscrita (que es la única circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo). Tomamos un punto de ella, P, y desde ese punto trazamos rectas perpendiculares a las rectas que contienen a los lados del triángulo. Dichas perpendiculares cortan a las rectas de los lados en tres puntos (un punto de corte por cada recta). Bien, pues esos tres puntos de corte están alineados. La recta que pasa por dichos puntos se denomina recta de Simson (o línea de Simson).

Que esos tres puntos de corte pertenezcan a la misma recta ocurre si, como hemos comentado, partimos desde un punto de la circunferencia circunscrita. Si partimos desde un punto que no esté en dicha circunferencia también tenemos tres puntos de corte, pero en este caso no están alineados, sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal del triángulo inicial.

Os dejo un nuevo applet de GeoGebra en el que podéis mover tantos los vértices del triángulo como el punto P alrededor de la circunferencia circunscrita. Los puntos en amarillo son los puntos de corte que hemos descrito antes, y si marcáis la casilla Línea de Simson podréis ver que, sea como sea el triángulo y sea cual sea el punto de la circunferencia, esos tres puntos de corte están siempre en la misma recta:

Una última curiosidad sobre esta línea de Simson: aunque se conoce con ese nombre, no hay evidencias de que Robert Simson la estudiara (al menos no se han encontrado). La primera referencia conocida sobre esta construcción data de 1797 (con Simson ya fallecido) y corresponde al matemático, también escocés, William Wallace (no, no es el protagonista de Braveheart). Por eso, en ocasiones se suele llamar teorema de Wallace-Simson al teorema matemático relacionado con esta línea del triángulo.


Como ya hemos comentado en alguna ocasión en este blog, el triángulo es una construcción sencilla pero para nada simple, ya que esconde verdaderas sorpresas y auténticas bellezas dentro de él. Esto de las líneas con nombre es, sin duda, una de ellas. Y sobre ello es interesante comentar que los dos ejemplos descritos aquí no son los únicos. Por ejemplo, tenemos también la denominada línea de Nagel, y seguro que hay más. Os animo a que profundicéis en este tema, a que busquéis información y a que intentéis hacer progresos por vuestra cuenta, y nos habléis de vuestros descubrimientos en los comentarios.

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