Pilas

Para hallar la fórmula del volumen de la esfera a partir de las del cilindro y el cono, como nos planteábamos la semana pasada, imaginemos apoyados sobre un mismo plano una semiesfera de radio r, un cilindro de radio r y altura r, y un cono invertido (en equilibrio inestable sobre su vértice) también de radio r y altura r. Si cortamos los tres sólidos por un plano paralelo al que les sirve de base, veremos que el círculo producido por su intersección con el cilindro es igual a la suma de los otros dos círculos, los de las intersecciones con el cono y con la esfera respectivamente (la demostración es sencilla pero engorrosa, y es fácil encontrarla en internet). Y como esta relación entre las tres secciones se cumple sea cual fuere la altura a la que se realice el corte, el volumen de la semiesfera será, tal como vimos que establece el principio de Cavalieri, igual a la del cilindro menos la del cono, o sea:

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Volumen semiesfera = πr3 – πr3/3 = 2πr3/3

Luego el volumen de la esfera será 4πr3/3, que es la fórmula que nos enseñaron en el colegio (aunque generalmente sin demostrarla).

Aunque el principio de los “indivisibles” (finísimas lonchas superpuestas, para entendernos) se atribuye a Bonaventura Cavalieri por su generalización y desarrollo de la idea, fue Arquímedes quien, dos mil años antes, halló de este modo la fórmula del volumen de la esfera.

Corrimiento máximo

Como vimos, el principio de Cavalieri se puede ilustrar con un montón de monedas iguales, pues es evidente que el volumen total de las monedas será el mismo si las apilamos exactamente una encima de otra, formando un cilindro, o si desplazamos lateralmente algunas de ellas. Lo que puede llevar a plantearnos otra cuestión: ¿cuál es el máximo desplazamiento lateral que permite un cierto número de monedas iguales apiladas sin que la pila se desmorone?

En el caso trivial de una pila mínima de dos monedas, es evidente que la de arriba la podremos desplazar lateralmente hasta que su centro geométrico (que coincide con su centro de gravedad) esté justo sobre el borde de la moneda de abajo; o sea, si r es el radio de la moneda, el desplazamiento lateral máximo es r. ¿Y en una pila de tres monedas? ¿Y en una pila de n monedas? ¿Y en una pila de infinitas monedas?