El hombre que calculaba

Si llamamos N al número de cocos recogidos por nuestros náufragos de la semana pasada, x a los que se lleva el primero de ellos, y a los del segundo, z a los del tercero, v a los del cuarto, w a los del quinto y r a los que les tocan a cada uno en el reparto final, tenemos:

N = 5x + 1

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N – x – 1 = 5y + 1

N – x – 1 – y – 1 = 5z + 1

N – x – 1 – y – 1 – z – 1 = 5v + 1

N – x – 1 – y – 1 – z – 1 – v – 1 = 5w + 1

N – x – 1 – y – 1 – z – 1 – v -1 – w – 1 = 5r

De donde, despejando y sustituyendo, se obtiene tras laboriosos pero sencillo proceso:

1024N = 15625r + 8404

Como N y r tienen que ser números enteros y positivos, obtenemos, por el método clásico de resolución de ecuaciones diofánticas (demasiado largo para exponerlo aquí pero fácil de encontrar en la red):

N = 3121 + 15625n, donde n puede tomar cualquier valor entero, pues el problema tiene infinitas soluciones. Como nos piden el número mínimo de cocos que cumplen la condición, tomaremos n=0, o sea, N = 3121. Lo que significa que el primer náufrago se comió 624 cocos, el segundo 499, el tercero 399, el cuarto 319 y el quinto 255, lo cual es tan disparatado que plantea el metaproblema de por qué el problema se ha mantenido así en vez de sustituir, por ejemplo, los cocos por cacahuetes, piñones o pipas de girasol.

En cuanto al porcentaje de hombres a la vez feos, tontos y malos, si hay un 70 % de cada tipo tenemos, por cada 100 hombres, 210 dones a repartir entre ellos, por lo que a al menos 10 les tocarán los tres, de modo que al menos un 10 % de los hombres son feos, tontos y malos (un misántropo diría que, si en el problema anterior nos pasamos de la raya, en este nos quedamos cortos). 

De perlas, princesas, monedas y marineros

Un lector señaló oportunamente que el problema del mono y los cocos es similar a Las perlas del rajá, uno de los acertijos planteados en el maravilloso libro El hombre que calculaba, del matemático, escritor y arabista brasileño Júlio César de Mello e Souza, más conocido por su seudónimo Malba Tahan. El acertijo en cuestión dice así:

En El hombre que calculaba hay otro problema, el de los tres marineros, aún más similar al del mono y los cocos; tan similar que probablemente sea su antecedente directo

Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y dispuso que se las repartieran de la siguiente manera: a la hija mayor le correspondería una perla más un séptimo de las restantes; a la segunda, dos perlas más un séptimo de las restantes; a la tercera, tres perlas más un séptimo de las restantes, y así sucesivamente. Las hijas más jóvenes se quejaron ante un juez, alegando que con ese reparto saldrían perjudicadas. Pero el juez, que era hábil en la resolución de problemas, replicó que la división propuesta por el rajá era justa y equitativa. Y tenía razón, pues tras efectuar el reparto todas las hermanas obtuvieron el mismo número de perlas. ¿Cuántas eran las hijas del rajá y cuántas perlas se repartieron?

Pero en El hombre que calculaba hay otro problema, el de los tres marineros, aún más similar al del mono y los cocos; tan similar que probablemente sea su antecedente directo. El planteamiento es el mismo, aunque algo más sencillo:

Tres marineros reciben como recompensa un montón de monedas que han de repartirse al día siguiente. Por la noche, uno de los marineros se despierta, divide las monedas en tres partes iguales, tira al mar una moneda que sobra y se lleva su parte. El segundo y el tercer marinero, sucesivamente, hacen lo mismo. A la mañana siguiente el capitán divide las monedas restantes en tres partes iguales, se queda una moneda que sobra y le da una parte a cada marinero. ¿Cuántas monedas había?

Quienes se atascaron con el largo y engorroso problema del mono y los cocos, tal vez tengan más éxito con esta versión reducida; y quienes lo resolvieron pueden buscar, en este caso, otra vía de resolución más simple.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.