El mono y los cocos

Sin necesidad de hacer una encuesta, veíamos la semana pasada que se puede asegurar que al menos dos comentaristas de El juego de la ciencia tendrán el mismo número de colegas (independientemente de cómo definamos el colegueo). La demostración tiene que ver con el denominado principio del palomar: si tres palomas ocupan dos palomares, en un palomar habrá necesariamente más de una paloma (generalizando, si m objetos ocupan n lugares y m>n, en al menos un lugar habrá más de un objeto). El caso de los comentaristas y sus colegas no es tan evidente como el da las palomas y los palomares, pero podemos aplicar el mismo razonamiento: si hay n comentaristas, las posibilidades de colegueo de un comentarista oscilan, cuantitativamente, entre 0 (ningún colega) y n-1 (todos los demás comentaristas son colegas suyos); pero si alguien, digamos Antonio, no tiene ningún colega, no puede haber alguien, digamos Berta, que sea colega de todos los demás, pues entonces Berta también sería colega de Antonio, y este no tiene ningún colega. Es decir, las posibilidades 0 y n-1 son mutuamente excluyentes, por lo que no hay n posibilidades (de 0 a n-1), sino n-1, y como hay n personas, al menos dos de ellas comparten palomar, es decir, número de colegas. Si el 70 % de los hombres son feos, el 70 % son tontos y el 70 % son malos, ¿cuántos hombres, como mínimo, son a la vez feos, tontos y malos?

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Hay dos números de tres cifras distintas de cero que son iguales a la suma de los cubos de sus cifras: 153=1³+5³+3³ y 371=3³+7³+1³. Si eliminamos la restricción de que las cifras sean distintas de 0, hay dos soluciones más: 370 y 407. Y, por cierto, no haría falta decir que el número ha de tener tres cifras, pues no hay soluciones para números de más o menos cifras (con la evidente excepción del 1, que es igual a su cubo, y del 0, si lo consideramos un número). 

Pongámonos diofánticos

La semana pasada un lector me acusó de ponerme diofántico, y para hacer honor al adjetivo (que, recordémoslo, se aplica a las ecuaciones y problemas que solo admiten soluciones enteras), no tengo más remedio que desempolvar un clásico que probablemente sea el más famoso acertijo de este tipo: el del mono y los cocos.

Cinco marineros naufragan y llegan a una isla desierta en la que el único alimento disponible son los cocos. Recogen un montón y se van a dormir tras decidir repartirlos al día siguiente. Pero por la noche uno de los marineros se despierta hambriento, divide los cocos en cinco partes iguales, ve que sobra un coco y se lo da a un mono que lo observa con curiosidad; luego se come su parte y vuelve a dormirse. Al cabo de un rato, un segundo marinero se despierta hambriento y hace lo mismo: divide los cocos que quedan (creyendo que son la totalidad de los que han recogido) en cinco partes iguales, ve que sobra uno y se lo da al mono, se come su parte y se acuesta de nuevo. Y lo mismo hacen sucesivamente los otros tres marineros. A la mañana siguiente, dividen los cocos que quedan en cinco partes iguales y no sobra ninguno. ¿Cuántos cocos recogieron, como mínimo, los náufragos?

He respetado el planteamiento original (atribuido al escritor Ben Ames Williams) por su interés documental; pero creo que habría que sustituir los cocos por cacahuetes, por razones que comprenderéis al hallar la solución.

Y una pregunta extramatemática inspirada por la homonimia: ¿podría un mono muy listo, como la famosa gorila Koko, resolver un problema similar al de los cocos?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.