El profesor Mosterín analiza los interrogantes de la matemática moderna

En el salón de Graus, de la facultad de Filosofía y Ciencias de la Educación, el profesor Jesús Mosterín, autor de dos importantes obras, Lógica de primer orden y Racionalidad y acción humana, se ocupó ayer de la figura de Kurt Godel, el lógico más importante del siglo XX, que falleció el año pasado. Godel nació en 1906, en Brno (Checoslovaquia), estudió en Viena y se doctoró en 1930. Al ocupar Austria los nazis, emigró a Estados Unidos, donde fue profesor de la Universidad de Princeton. Para el profesor Mosterín, la importancia de Godel radica en que dio pocas, pero rotundas y definitivas, respuestas a las interrogaciones de la matemática moderna.Comenzó explicando que a finales del siglo pasado, con la aparición de las geometrías no euclidianas, empieza a vacilar el edificio aristotélico euclidiano de los axiomas matemáticos, llegándose a dudar de la verdad de los enunciados matemáticos. Para hacer frente a esta duda, salió David Hilbert con su programa salvador, que consistía en la formalización rigurosa de todos los enunciados, en una explicitación de los supuestos y teorías de todos los axiomas. Cada axioma se compondría de una fila de signos, como el ajedrez dispone de sus figuras. Hilbert llamó a esta ciencia nueva matemática, que tratara de filas de signos y de los sistemas formales. Estos signos tienen sus propiedades: la consistencia, la completitud y la no contradición. Ahora bien, lo que hay que probar es la consistencia absoluta de un axioma matemático. Las dificultades para una formalización completa de las matemáticas surgieron en 1928, con la aparición del libro de Hilbert-Ackerman, en el que se expresaba la duda de si los cálculos deductivos podían llegar a ser semánticamente completos.

Pregunta inquietante a la que Godel, en 1930, respondió afirmativamente, formulando el principio de completitud de los cálculos deductivos. Entonces reinó la euforia en la escuela de Hilbert y el dominio de la formalización pareció extenderse a todas las ciencias y se creyó que se podía sustituir la verdad por la demostratividad formal.

Esta galería duró poco, pues, en 1931, Godel probó que es imposible formalizar la artimética y que tampoco es posible probar la consistencia de esa formalización. ¿Cómo llegó Godel a estos resultados? Al convertir los signos en números naturales. Además, probó que todas las formulas matemáticas no se pueden demostrar a sí mismas. Así, terminaba el proyecto logicista inaugurado por Frege. Una gran lógica se demostraba imposible, es decir, una lógica suficientemente fuerte para que se pudiera, al interior de sus procedimientos, garantizar sus métodos. Sin embargo, esta relativización de los fundamentos de la matemática no significa un fracaso, dice Desanti, sino una limitación interna del formalismo lógico. Los trabajos posteriores de Godel, en 1933, apoyan la tesis de Desanti, pues buscó la prueba de la consistencia relativa de las teorías matemáticas.

Más adelante, el profesor Mosterín explicó cómo Godel, en el transcurso de los años 1938-40, resolvió genialmente el problema, arduo y dificultoso, de la teoría de los conjuntos y de la hipótesis del continuo, demostrando la consistencia de ambas. En 1950 Godel recibió el Premio Einstein, por su audaz formulación de una teoría de la reversibilidad del tiempo, deducida de la relatividad general einsteniana.

La conferencia del profesor Mosterín, que fue clara, rigurosa y técnica, no hizo traspolaciones filosóficas y se limitó al campo puramente lógico de su discurso.