Las urnas de Cellini

El último problema de las urnas de Porcia, planteado la semana pasada, ha dado lugar a interesantes reflexiones de nuestros/as sagaces comentaristas sobre la autorreferencia, la decidibilidad y otras sutilezas de la lógica (ver comentarios correspondientes); pero, en realidad, la explicación del error de nuestro confuso pretendiente es más simple (o más compleja, según se mire).

En la primera prueba, Porcia informa al pretendiente de que al menos una de las afirmaciones de los letreros es verdadera y al menos una es falsa; pero en la segunda prueba solo le dice que en una de las urnas está su retrato. No le da ninguna información sobre la verdad o falsedad de las afirmaciones que aparecen en los letreros, por lo que podría poner en ellos cualquier cosa y el retrato estar en cualquiera de las dos urnas, pues el único requisito, para que el enunciado sea correcto, es que el retrato esté en una de ellas. Como último y definitivo reto, la sutil —y un tanto maliciosa— Porcia somete a su pretendiente a una “metaprueba” que consiste en valorar adecuadamente las condiciones de la prueba (en su descargo hay que decir que, según cuentan las crónicas, acabó concediéndole su mano a su perplejo pretendiente).

En cuanto al problema de la cuenta de collar, Manuel Amorós propone acudir a lo que podríamos denominar “lógica perezosa”:

“Razonamiento holgazán para la cuestión de la bola horadada. Si el enunciado es correcto, el volumen resultante debería ser independiente del grosor del agujero. Si hacemos tender dicho grosor a cero como caso límite, tendríamos que el volumen correspondería a una esfera compacta de 6 milímetros de diámetro”.

Y así es en efecto: el “razonamiento holgazán” (a la vez que confiado, pues da por hecho que el enunciado es fiable y, por tanto, quien lo plantea no se ha olvidado de dar ningún dato), conduce a la solución correcta, pues, por muy contra intuitivo que resulte, el volumen de la esfera horadada no depende del diámetro del orificio cilíndrico, sino solo de su longitud.

Cellini y Bellini

Para no despedirnos de Porcia con un problema en cierto modo tramposo, veamos a continuación otro que cumple el requisito de informarnos sobre los valores de verdad o falsedad de los enunciados, y que además introduce una interesante variable adicional.

Algunas de las urnas de Porcia son obra de Cellini, el más prestigioso orfebre del Renacimiento, además de afamado escultor, y otras han sido hechas por un imitador, un tal Bellini, que intenta hacerlas pasar por auténticas. Las inscripciones de las urnas de Cellini son siempre verdaderas, mientras que las inscripciones de las urnas de Bellini son siempre tan falsas como ellas mismas.

Una de las pruebas más complicadas a las que Porcia sometió a sus pretendientes es la siguiente:

Hay tres urnas, una de oro, otra de plata y otra de plomo, hechas por Cellini o por Bellini, y en una de ellas está el retrato de Porcia. En la urna de oro pone: “El retrato está aquí”. En la urna de plata pone: “El retrato está aquí”. En la urna de plomo pone: “Por lo menos dos de estas tres urnas son obra de Bellini”.

Y en este caso el pretendiente —y tú con él, sagaz lector(a)— no solo tiene que deducir dónde está el retrato, sino que además ha de determinar quién es el autor de cada urna.