Un monstruo probabilístico

Con respecto al problema de las cuentas de los collares concéntricos, que había quedado pendiente, este es el comentario de Manuel Amorós:

“Creo que solo pueden ser solución los impares. Para verlo podemos tomar números naturales en lugar de colores. La condición necesaria es que cada número esté separado de su homónimo una cantidad, y estas cantidades deben ser diferentes. Por tanto, deberíamos tener una expresión del tipo:

1 + 0 = 1

2 + a = b

…

n + t = p

En la segunda columna no puede aparecer n, con lo cual y teniendo en cuenta que la segunda columna recorre 0,1… n-1 y la tercera recorre 1, 2… n, podemos sumar obteniendo (n+1, 2) + (n, 2) congruente (n+1, 2) (módulo n). Luego la condición necesaria es que (n, 2) sea múltiplo de n. Eso solo puede ocurrir si n es impar.

Por otro lado, es condición suficiente. Podemos situar los números homónimos a una unidad menos de distancia que dicho número. Por ejemplo, para n =5:

1 + 0 = 1

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

4 + 3 = 2

5 + 4 = 4″.

Pero el problema ha suscitado otras interesantes reflexiones (cf. comentarios de El jugo de la minoría), y es de los que se prestan a seguir indagando.

El simbionte de Schrödinger

Por otra parte, un comentario de Salva Fuster da pie a plantear el “metaproblema” del simbionte:

“El problema del simbionte me suena de haberlo tratado hace ya bastante tiempo. Si no recuerdo mal, una cuestión que se planteó fue la de la conservación de la masa. Las subdivisiones podrían llegar a no ser posibles si la capacidad de división de la materia tuviera un límite inferior”.

A mí también me suena, pero, al no figurar en el título el asunto del monstruo estocástico, no lo localizo (puede que a alguien le sorprenda que no controle todas las entregas de El juego de la ciencia, pero es que esta es la número 495). Sin duda un(a) diligente lector(a) dará con el artículo en cuestión y podremos volver sobre el tema. O, mejor aún, podemos consultar la Introducción a la teoría de probabilidades, de William Feller, como sugiere Francisco Montesinos:

“Para saber si el proceso acaba en una población N = 0 o bien se desarrolla sin límite, hay que fijarse más bien en si E (número esperado de descendientes directos) es <= 1, en cuyo caso acaba muriendo, o bien E > 1 en cuyo caso se desarrolla sin límite. En el caso planteado, al ser E > 1 no morirá nunca. Ver Feller, pág. 301 y siguientes”.

Esta opinión contrasta con la de otros lectores, que consideran que el simbionte morirá con seguridad. ¿En qué quedamos? ¿Será el monstruo de Schrödinger, vivo y muerto a la vez hasta que no abramos la cámara acorazada en la que está encerrado?

Redes paradójicas

Con respecto a la paradoja de Braess, Fuster comenta:

“Otro caso de la paradoja de Braess se podría dar en redes de conmutación de paquetes, en las que habilitar nuevas rutas entre nodos de la red podría provocar tiempos de envío mayores de los mensajes, aunque creo que es un caso muy parecido al de las carreteras”. A lo que otra lectora añade: “En efecto, de forma general la paradoja se observa en el flujo en redes. British Telecom sufrió en 1990 una verdadera catástrofe en el comportamiento de la red”.

Y una vez más mis amables lectoras/es han llenado la sección. Solo me queda plantear un problema relacionado con alguno de los temas tratados recientemente. Como el siguiente, planteado en su día por Josep María Albaigès en su excelente revista Carrollia:

Supongamos una superficie de baldosas cuadradas de un metro de lado, sobre ella dibujamos un polígono tan caprichoso como nos apetezca (ver la figura) formado por líneas rectas que unen exclusivamente vértices de las baldosas. Llamaremos N al número de los vértices que estén sobre la línea perimetral y B al número de vértices interiores al polígono. Se trata de encontrar una fórmula que, en función de N y B, proporcione el valor de la superficie del polígono.