De urnas y pretendientes

Sobre el problema de las baldosas cuadradas, planteado la semana pasada, dice Benedicto Torres:

Si para los siguientes valores de N y B la superficie S es:

N = 8, B = 0 => S = 3 N = 9, B = 0 => S = 3′5 N = 10, B = 0 => S = 4

N = 8, B = 1 => S = 4 N = 9, B = 1 => S = 4′5 N = 10, B = 1 => S = 5

Se infiere: S = (N-2)*1/2 + B

Considerando las superficies:

Mínima con N = 3 y B = 0 => S = (3-2)*1/2 + 0 = 1/2 Máxima con N = 26 y B = 28 => S = (26-2)*1/2 + 28 = 40

A lo que Francisco Montesinos contesta (solo para matemáticos):

Una forma divertida de llegar a la misma función consiste en empezar por ensayar una lineal en N y en B del tipo F(N, B) = aN + bB + c. Entonces, cogiendo los ejemplos más sencillos se observa que F(N + 1,B) – F(N, B) = 1/2. Pero esto no es sino la derivada parcial (quizás sería más apropiado llamarla seudoderivada) de F respecto a N, cuyo valor es a, por lo que a = 1/2. De la misma forma se llega a que la derivada parcial de F respecto a B : F(N, B+1) – F(N, B) debe ser 1, por lo que b = 1. Por último, aplicando la fórmula p.e. al caso (N, B) = (4, 0) se obtiene c = -1. Sorprende que una función lineal resuelva la cuestión, aunque bien pensado hay motivos para que así sea.

Y en relación con el problema del simbionte, Bretos Bursó propone esta serie de cuatro (o estos cuatro de series):

1) En cada paso sacamos al azar una bola de una urna, y terminamos si no es blanca. Al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca. Cada vez que sale blanca, la devolvemos a la urna junto con 1 bola roja y vamos al paso siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de terminar sacando la bola verde?

2) Ídem si al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca, y en caso de salir blanca añadimos 1 bola roja y 1 bola blanca.

3) Ídem si al principio hay 2 bolas rojas y 1 bola blanca, y en caso de salir blanca añadimos 1 bola verde y 1 bola blanca.

4) Ídem si al principio hay 1 bola verde y 3 bolas blancas, y en caso de salir blanca añadimos 2 bolas rojas y 2 bolas blancas.

Tal vez los lectores más asiduos recuerden un artículo de hace un par de años dedicado a la urna de Pólya (denominada así en honor del matemático húngaro George Pólya), de la que los cuatro problemas anteriores son variantes. Y aprovecho para repetir un par de cuestiones que entonces quedaron sin respuesta: ¿Tiene algo que ver con la urna de Pólya el hecho de que los ricos sean cada vez más ricos? ¿Y la elección de una mujer que duda entre dos pretendientes (una situación típica de las novelas rosa)?

Las urnas de Porcia

Y hablando de urnas y pretendientes, casualmente (o tal vez no), una notable similgrafía nos lleva de la urna de Pólya a las de Porcia, que en el fascinante libro de Raymond Smullyan ¿Cómo se llama este libro? dan lugar a una interesante serie de acertijos lógicos. Como este:

Porcia, la protagonista de El mercader de Venecia, tiene tres urnas, una de oro, otra de plata y otra de plomo, y dentro de una de ellas está su retrato. Y el pretendiente de turno, para obtener su mano, tiene que deducir en qué urna está el retrato de Porcia a partir de la siguiente información:

En la urna de oro hay un letrero que dice: “El retrato no está en la urna de plata”.

En la urna de plata hay un letrero que dice: “El retrato no está en esta urna”.

En la urna de plomo hay un letrero que dice: “El retrato está en esta urna”.

Sabiendo que por lo menos una de las tres afirmaciones es verdadera y que por lo menos una es falsa, ¿en qué urna está el retrato?