El que pierde, gana

Para ganar en la versión lineal del Nim (en la que pierde el que se lleva el último palillo), de cuyas variantes nos ocupamos la semana pasada, hay que dejarle al otro jugador 5 palillos, con lo que, coja los que coja, le dejaremos el último. Y para poder dejarle 5, antes hay que dejarle 9, y antes 13, y antes 17… O sea, quien se encuentre con 4n + 1 palillos pierde seguro (siempre que el otro haga las jugadas correctas, se entiende). Por lo tanto, si se parte de una fila de 20 palillos, gana el primer jugador retirando 3 y dejando 17.

Las variantes con varias filas de palillos son más complicadas; pero solo aparentemente, pues en realidad existe una forma muy sencilla de averiguar si una posición es ganadora o perdedora, que fue descubierta a principios del siglo pasado por el matemático estadounidense Charles L. Bouton (también responsable de llamar Nim al juego), cuyo análisis pionero se considera el origen de la teoría de juegos combinatorios (CGT, según las siglas en inglés), cuyo objeto de estudio son los juegos secuenciales con información perfecta (es decir, en los que los jugadores conocen en todo momento el estado del juego y todos los movimientos posibles).

Bouton demostró que para determinar si una posición era ganadora o perdedora, bastaba con escribir el número de palillos de cada fila en notación binaria: si todas las columnas suman 0 o par, la posición es ganadora; de lo contrario, no.

Supongamos que partimos de tres filas con 5, 4 y 3 palillos respectivamente:

I I I I I

I I I I

I I I

Poniendo 5, 4 y 3 en números binarios:

101

100

11

212

La primera columna suma 2, la segunda 1 y la tercera 2, y puesto que hay una suma impar, la situación es perdedora. Y, efectivamente, el primer jugador consigue una posición ganadora quitando dos palillos de la tercera fila, y, si juega correctamente, tiene la victoria asegurada, haga lo que haga el otro.

El Nim es, por tanto, e independientemente de cuántas filas y de cuántos palillos haya en cada fila, un juego de estrategia segura. No todos los juegos secuenciales con información perfecta lo son (o al menos no podemos estar seguros de que lo sean), pues a partir de un cierto grado de complejidad escapan a nuestras posibilidades de cálculo. Es el caso del ajedrez: su combinatoria es tan enorme (del orden de los septillones) que, aunque algunos especialistas creen que la “partida perfecta” acabaría en tablas, no podemos asegurarlo.

‘Antichess’

Y hablando del ajedrez y de otro juego secuencial con información perfecta —el Nim— en el que, según las variantes, lo que en una es ganar (llevarse el último palillo) en la otra es perder, no se puede dejar de mencionar el antichess o ajedrez pierde-gana, una modalidad muy popular en la que el objetivo es perder todas las piezas o quedar ahogado. Como en la famosa novela de Graham Green, el que pierde, gana. Las reglas son las mismas que las del ajedrez convencional, con algunas excepciones:

*La captura es obligatoria (como en las damas). Si hay más de una captura posible, el jugador puede elegir la que más le convenga.

*El rey es una pieza más que se puede capturar como cualquier otra, y, por tanto, no hay jaque, ni jaque mate, y tampoco enroque. Consiguientemente, un peón que corona también puede convertirse en rey.

*Un jugador ahogado, es decir, que no puede efectuar ningún movimiento lícito, gana la partida.

Huelga decir que las partidas de antichess son muy distintas de las de ajedrez convencional (¿qué aperturas te parecen buenas y cuáles no?). Y los problemas también, como comprobarás si intentas resolver el de la figura: negras juegan y ganan (es decir, pierden). Parece fácil perder-ganar con un solo peón, pero…