Los desconcertantes números anómalos

Nuestro comentarista habitual Rafael Granero da las siguientes respuestas a las preguntas de la semana pasada:

Los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y 2 son aquellos que se encuentran entre 1 y 100. Esto se debe a que:

logd(1) = 0

logd(100) = 2

Por lo tanto, cualquier número x que cumpla 1 < x < 100 tendrá un logaritmo decimal entre 0 y 2.

Logaritmo decimal de 0,01

El logaritmo decimal de 0,01 es -2.

Esto se puede entender de la siguiente manera: logd(0,01) = logd(1/100) = logd(1) – logd(100) = -2

Logaritmos decimales de 9, 30 y 1/3

Sabiendo que logd(3) = 0,477, podemos calcular los demás:

Logaritmo decimal de 9: logd(9) = logd(3^2) = 2 * logd(3) = 2 * 0,477 = 0,954

Logaritmo decimal de 30: logd(30) = logd(3 * 10) = logd(3) + logd(10) = 0,477 + 1 = 1,477

Logaritmo decimal de 1/3: logd(1/3) = logd(1) – logd(3) = -0,477

Por su parte, Manuel Amorós encuentra de esta ingeniosa manera el valor de x cuando x elevado a la potencia x3 es igual a 3:

x^(x^3) = 3

(x^(x^3))^3 = 3^3

(x^3)^(x^3) = 3^3

x^3 = y

y^y = 3^3

y = 3, ergo x = raíz cúbica de 3

Y Bretos Bursó propone una interesante interpretación del número e, base de los logaritmos neperianos que, aunque solo es apta para personas con ciertos conocimientos matemáticos, no he resistido la tentación de incluirla:

Supongamos que vemos cómo se forma al azar una fila de personas arbitrariamente larga, y que somos capaces de distinguir siempre, dadas dos personas, cuál es la más alta (por pequeñísima que sea la diferencia). Contamos la cantidad de personas que llegan hasta que la última en hacerlo es más alta que la penúltima (dicha cantidad será siempre mayor o igual a 2). Entonces:

- el valor esperado o promedio de esta cantidad variable es el número e.

- la probabilidad de que esa última persona sea además más alta que todas las anteriores es e-2.

(Cada una de las dos afirmaciones anteriores equivale a que la suma de la serie de 1/n! para n = 0, 1, 2, 3… es el número e).

La ley de los números anómalos

Como vimos, las tablas de logaritmos, al permitir la conversión de las multiplicaciones en sumas y de las divisiones en restas, facilitaban considerablemente los cálculos cuando no había ordenadores; pero hace mucho que cayeron en desuso, junto con las maravillosas reglas de cálculo que asomaban en el bolsillo superior de todo ingeniero que se preciara.

En el siglo XIX, las tablas de logaritmos estaban entre los manuales más consultados de cualquier biblioteca técnica o científica, y ese uso continuo permitió al gran astrónomo y matemático Simon Newcomb darse cuenta de que las primeras páginas de todas las tablas que examinó mostraban más señales de uso que las siguientes, y que el nivel de uso decrecía regularmente a medida que se pasaban las páginas. Eso significaba que había más números consultados que empezaban por 1 que por cualquier otra cifra, seguidos en cantidad por los que empezaban por 2, a continuación venían los que empezaban por 3…

A partir de sus observaciones, Newcomb enunció una ley sobre la frecuencia de los números en relación con las mantisas (partes decimales) de sus logaritmos, que le permitió estimar que la probabilidad de que un número tomado del mundo real empiece por 1 es de aproximadamente el 30 %, la de que empiece por 2 es del 18 %, la de que empiece por 3 es del 12 %… y así, siempre decreciendo, hasta llegar al 9, cuya probabilidad de encabezar un número no llega al 5 %.

Las contraintuitivas conclusiones de Newcomb cayeron en el olvido hasta que, en 1938, el ingeniero estadounidense Frank Benford, tras comprobar más de 20.000 números de 20 muestras diferentes (tales como números de habitantes de una lista de ciudades, cotizaciones de bolsa, constantes físicas, pesos moleculares, tasas de mortalidad, números de direcciones postales…), enunció la que denominó “ley de los números anómalos”, hoy conocida como ley de Benford (aunque algunos preferimos llamarla ley de Benford-Newcomb), según la cual la primera cifra n en una muestra de números tomados del mundo real aparece con una probabilidad dada por la fórmula: logd(n+1) – logd(n). (Por limitaciones tipográficas, el logaritmo decimal se indica como logd).

¿No deberían las primeras cifras distribuirse de forma equiprobable entre los nueve dígitos (obviamente, se excluye el cero)? ¿Por qué es más probable que el número de habitantes de una ciudad empiece por 1 que por 9? ¿Se te ocurre alguna explicación para este resultado tan —aparentemente— arbitrario?