El arte de doblar mapas

Si multiplicamos uno por otro los lados del pliego DIN A0, origen de la serie DIN, como vimos la semana pasada, obtenemos:

841 mm x 1189 mm = 1000049 mm²

es decir, casi exactamente un metro cuadrado, como señala en su comentario Erwin Schorr, con un error de apenas 5 cienmilésimas.

Con respecto a la posibilidad de llegar a la Luna doblando papel, he aquí lo que comenta Salva Fuster:

“Siendo el grosor del papel de un décimo de mm aproximadamente, al doblarlo 10 veces tendremos 210 veces el grosor inicial, lo que supone tener aproximadamente 1.000 veces más que el grosor inicial, es decir, 100 mm (0,1 m) de grosor. Ahora bien, cada vez que doblemos 10 veces más, el grosor se multiplicará por 1.000. Por lo tanto, si hacemos 40 dobleces desde la situación inicial, tendremos: 0,1 mm - 100 mm - 100 m - 100 km - 100 000 km Con un par de dobleces adicionales ya superaríamos la distancia a la Luna, pues al hacer dos dobleces más multiplicaríamos el último de los valores anteriores por 4. En conclusión, con 42 dobleces es suficiente. Respecto al tamaño de la hoja, teniendo en cuenta que un folio A4 se puede doblar hasta 7 veces, el A3 se podría doblar 8 veces, el A2 9, el A1 10 y el A0 11 veces, es decir, un folio de 1 m² se podría doblar 11 veces. Si queremos llegar a 42 dobleces, tendremos que doblarlo 31 veces más, lo que significaría aumentar la superficie hasta 2³¹ m², es decir, unos dos mil millones de metros cuadrados, o lo que es lo mismo, unos 2.000 km², un tamaño similar al de Gipuzkoa. Ahora bien, seguramente sería mejor utilizar una tira de papel y no un folio proporcional a un DIN A4″.

En cuanto a la razón de las áreas del pentáculo y su antipentáculo interior, si no la has hallado con las pistas dadas la semana pasada mereces caer en las garras del Maligno, pues la cosa es tan fácil como darse cuenta de que el lado del pentágono regular cuyas diagonales forman el pentáculo es 1 + Φ = 2,62 veces mayor que el lado del pentágono interior, cuyas diagonales forman el antipentáculo; por lo tanto, el área de pentáculo será 2,62² = 6,86 veces mayor que la del antipentáculo.

Los irritantes mapas de carreteras

Puede que los más jóvenes nunca hayan tenido que vérselas con un mapa de carreteras, ahora que cada móvil y cada automóvil tiene acceso al GPS; pero quienes venimos del siglo pasado hemos comprobado en más de una ocasión lo fácil que es desdoblar un mapa y lo difícil que es volver a doblarlo adecuadamente.

Consideremos un caso trivial: un mapa con un solo doblez vertical, V1, como el de la figura. Solo podemos doblarlo de dos maneras: ocultando el anverso, A, u ocultando el reverso, R, y podemos designar estos doblamientos como V1A y V1R.

Si en vez de estar dividido en dos mitades, el mapa elemental estuviera dividido en tres partes por dos dobleces verticales (como de hecho es normal en algunos folletos, no en vano llamados trípticos), ¿de cuántas maneras distintas podríamos doblarlo?

V1A-V2A, V1A-V2R, V1R-V2A…

Spoiler: pueden parecer 8 (4 empezando por V1 y 4 empezando por V2), pero en realidad son 6 (¿por qué?). Y también podría parecer que ese 6 es el resultado de 3! = 3 x 2 x 1, y que, por tanto, en el caso de tres dobleces verticales tendríamos 4! = 24 doblamientos diferentes, pero no es así. ¿De cuántas formas diferentes se puede doblar un “cuatríptico”?

El problema general, con n dobleces, que parece relativamente sencillo, es complejo y escurridizo, y se complica aún más si, como en el caso de los mapas reales, hay a la vez dobleces verticales y horizontales; de hecho, no se ha encontrado todavía una fórmula o un algoritmo claro para abordar el “irritante” (así lo han calificado los propios matemáticos) problema del map folding.

Si quieres comprobar personalmente cuán irritante es, intenta determinar de cuántas maneras distintas se puede doblar el sencillo mapa de la figura, con dos dobleces verticales y solo uno horizontal.

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