La aritmética del reloj

En los comentarios de las últimas semanas, y en función de algunos de los problemas planteados recientemente, aparece a menudo el concepto de congruencia.

En teoría de números (también hay una congruencia geométrica), se dice que dos números enteros son congruentes cuando dan el mismo resto al dividirlos por un tercero, llamado módulo. Así, 7 y 19 son congruentes respecto a 4 porque ambos, al dividirlos por 4, dan como resto 3.

Algunas congruencias son evidentes; por ejemplo, todos los números impares son congruentes con respecto a 2, puesto que todos dan 1 como resto al dividirlos por 2 (¿qué podemos decir, en este sentido, de los números terminados en 1?).

La relación de congruencia se expresa mediante tres trazos paralelos y el módulo entre paréntesis:

a ≡ b (mod m)

significa que a y b son congruentes respecto a m.

La congruencia también se puede definir como la relación entre dos números enteros cuya diferencia es divisible por un tercero. Si a y b son congruentes respecto a m, dan el mismo resto, r, al dividirlos por m, de donde:

a = pm + r

b = qm + r

siendo p y q números enteros, y por tanto:

a – b = (p – q)m

luego a – b es divisible por m.

La congruencia es la base de la aritmética modular, introducida por Gauss a principios del siglo XIX con su libro Disquisitiones Arithmeticae. Y la aritmética modular se conoce también como “aritmética del reloj”, porque los relojes ilustran de manera muy gráfica la relación de equivalencia de las horas respecto al módulo 12: así, las 7 y las 19 horas son representadas en los relojes convencionales de la misma manera: con la aguja mayor en el 12 y la menor en el 7.

Relojes problemáticos

No se puede hablar de aritmética del reloj sin pensar en los numerosos problemas y acertijos (unos muy conocidos y otros no, unos fáciles y otros no tanto) que tienen a los relojes como protagonistas. Constituyen todo un apartado de los problemas de ingenio, que a su vez cabe dividir en tres subapartados: relojes de agujas, relojes de arena y relojes digitales. Veamos algunos del primer tipo:

Un reloj de sonería, de los que dan las horas con campanadas, tarda 6 segundos en dar las 6. ¿Cuánto tardará en dar las 12?

Cerca de mi casa hay dos relojes que dan las horas a distintas velocidades: uno da tres campanadas en el mismo tiempo en que el otro da dos. Están sincronizados y empiezan a sonar al mismo tiempo. ¿A qué hora el reloj lento da dos campanadas más cuando el rápido ha dejado de sonar? (Basado en hechos reales, como el último).

A las 12 en punto, las tres agujas del reloj —la horaria, el minutero y el segundero— coinciden exactamente (presentan armas al Sol, que diría Ramón Gómez de la Serna). ¿Cuándo volverán a coincidir las tres?

Y como colofón, un clásico bien conocido, pero de obligada mención en este contexto. Clásico e histórico, pues la anécdota es real:

Una tarde, Kant vio que el reloj de su casa se había parado. Poco después fue caminando a visitar a un amigo, en cuya casa se fijó en la hora que marcaba un reloj de pared. Tras conversar un buen rato con su amigo, Kant regresó a su casa por el mismo camino, andando, como de costumbre, con el paso constante y regular que no había cambiado en veinte años. No tenía la menor idea de cuánto había tardado en hacer el camino de regreso, pues su amigo se había mudado recientemente y Kant todavía no había cronometrado el trayecto. Sin embargo, en cuanto llegó a su casa puso el reloj en hora. ¿Cómo lo hizo?

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