El príncipe de los matemáticos

Se cuenta que cuando Carl Friedrich Gauss tenía nueve años, en clase de matemáticas el profesor castigó colectivamente a los alumnos a sumar los números del 1 al 100, seguramente con la esperanza de tenerlos entretenidos un buen rato. Pero el pequeño Carl halló el resultado en cuestión de segundos: se dio cuenta de que el 2 y el 99, el 3 y el 98, el 4 y el 97… sumaban lo mismo que el 1 y el 100, por lo que, emparejando los cien números de esta manera, para hallar la suma total no tenía más que multiplicar 101 x 50 = 5.050. Y generalizando este método es fácil hallar la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética (¿puedes deducirla?).

Para sumar los 11 números consecutivos del problema de la semana pasada, podemos usar el método de Gauss: (1985 + 1995) x 11/2, y ni siquiera tenemos que efectuar la operación para ver que el resultado será múltiplo de 11, lo que facilita considerablemente la solución del problema, pues es fácil ver que todos los números de 44 cifras resultantes de la reordenación de los números del 1985 al 1995 también serán múltiplos de 11, por lo que ninguno de ellos puede ser primo.

También hablamos la semana pasada de los criterios de divisibilidad, en general fáciles de entender y aplicar. Puesto que podemos poner cualquier número, por ejemplo 324, en la forma 324 = 300 + 24, y 100 es divisible por 4, bastará que lo sean las dos últimas cifras, 24 en este caso, para que el número sea divisible por 4. Análogamente, puesto que 1.000 es divisible por 8, bastará que las tres últimas cifras de un número sean divisibles por 8 para que el número lo sea.

¿Qué condición ha de cumplir un número para que, al invertir el orden de sus cifras, la diferencia entre el número y su invertido sea divisible por 9?

El criterio de divisibilidad por 3 no es tan evidente, pero no entraña mayor dificultad. Siguiendo, con el ejemplo anterior:

324 = 3 x 100 + 2 x 10 + 4 = 3(99 + 1) + 2(9 + 1) + 4 = 3 x 99 + 2 x 9 + 3 + 2 + 4

Y puesto que 99 y 9 son divisibles por 3, bastará que lo sea la suma 3 + 2 + 4 para que 324 lo sea también. Y puesto que 99 y 9 son divisibles por 9, el criterio también es aplicable en este caso. Para que un número sea divisible por 3 o por 9, basta que lo sea la suma de sus cifras.

Y rizando un poco el rizo, ¿qué condición ha de cumplir un número para que, al invertir el orden de sus cifras, la diferencia entre el número y su invertido sea divisible por 9? (Por ejemplo, 712 – 217 = 495 es divisible por 9).

‘Princeps Mathematicorum’

Volviendo a Gauss, su precoz descubrimiento de las progresiones aritméticas no fue más que el principio de una deslumbrante carrera que le valió el sobrenombre de Príncipe de los Matemáticos. A sus fundamentales aportaciones a la teoría de números, hay que añadir sus importantes logros en los campos del álgebra, el análisis, la geometría diferencial o la estadística (baste recordar la famosa campana de Gauss).

Y hablando de Gauss, y puesto que en semanas anteriores hemos hablado de la teoría de Ramsey y del “problema del final feliz”, es preciso mencionar la excelente página de divulgación matemática Gaussianos, gestionada por Miguel Ángel Morales, donde encontrarás, entre otras muchas cosas, una amplia y amena introducción a los temas antes citados

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal