Desorden ordenado

El conocido problema misantrópico de los hombres feos, tontos y malos, recordado la semana pasada, se resuelve fácilmente aplicando el principio del palomar. Imaginemos que tenemos un grupo de 100 hombres y que cada uno de ellos es un palomar, y que hay 70 palomas de fealdad, 70 palomas de tontería y 70 palomas de maldad que tienen que alojarse en esos 100 palomares sin que en ninguno haya más de una paloma de cada tipo. Es evidente que el número máximo de hombres que pueden tener las tres “cualidades” es 70, pues la distribución más apretada posible es de tres palomas distintas por palomar en 70 palomares. En el extremo opuesto, la distribución más dispersa se obtiene cuando las palomas eligen siempre los palomares menos llenos. Las 70 palomas de fealdad se sitúan en otros tantos palomares; las palomas de tontería empiezan ocupando los 30 palomares vacíos, y las 40 restantes comparten sendos palomares con 40 palomas de fealdad. Tenemos, pues, 40 palomares con dos palomas y 60 con una. Las 70 palomas de maldad empiezan alojándose en los 60 palomares con solo una paloma, pero quedan 10 que tendrán que ir a otros tantos palomares con dos palomas. Ergo el mínimo número de hombres con las tres “cualidades” es de 10 por cada 100, o sea, el 10 %.

¿Cuántas estrellas hay que seleccionar para tener la certeza de que cuatro de ellas serán los vértices de un cuadrilátero convexo? Este problema fue resuelto por Esther Klein y George Szekere, cuya colaboración acabó en boda, por lo que Paul Erdös lo denominó “problema del final feliz”

En cuanto al “problema del final feliz”, mencionado en la entrega anterior, hay un excelente artículo de la matemática y divulgadora Clara Grima en su blog Mati y sus aventuras, titulado Una constelación con 16 estrellas, que lo relaciona con la teoría de Ramsey y con el “problema de la amistad” a partir de una sencilla pregunta astronómica relativa a las constelaciones, que traslado a nuestras/os sagaces lectoras/es:

¿Cuántas estrellas hay que seleccionar para tener la certeza de que cuatro de ellas serán los vértices de un cuadrilátero convexo?

Este problema fue resuelto por Esther Klein y George Szekere, cuya colaboración acabó en boda, por lo que Paul Erdös lo denominó “problema del final feliz”. Que se complica rápidamente al aumentar el número de puntos:

¿Cuántos puntos no alineados ha de haber, como mínimo, en un plano para tener la certeza de poder formar con cinco de ellos un pentágono convexo?

Orden y sorpresa

A partir de consideraciones relacionadas con los problemas anteriores, Ramsey y Erdös llegaron a la conclusión de que el desorden absoluto no existe, puesto que en cualquier conjunto aleatorio de elementos podemos encontrar un subconjunto que posea una determinada propiedad (como en el caso de los puntos que son los vértices de un polígono convexo). Una idea que, bajo diversas formas, aparece a menudo y no solo en la ciencia, sino también en la literatura y el arte, y que es el eje de uno de los mejores libros del maestro Martin Gardner, Orden y sorpresa.

Sabemos muy poco, y no obstante es asombroso que sepamos todo lo que sabemos, y todavía más asombroso que tan poco conocimiento nos confiera tanto poder

Decía Einstein que lo más incomprensible del mundo es que sea comprensible. Y Rudolf Carnap expresó la misma idea de forma más técnica, pero en esencia idéntica: “Es algo realmente sorprendente que la naturaleza pueda expresarse mediante fórmulas matemáticas relativamente sencillas”. Y Bertrand Russell escribió al final de un libro sobre la relatividad: “La conclusión es que sabemos muy poco, y no obstante es asombroso que sepamos todo lo que sabemos, y todavía más asombroso que tan poco conocimiento nos confiera tanto poder”.

Continuamente encontramos sorprendentes formas de orden en el caos. ¿Acabaremos acorralándolo totalmente y llegando a la conclusión de que lo que llamamos desorden no es más que otro nombre de nuestra ignorancia?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.