Orden desordenado

La solución al “problema del final feliz”, planteado la semana pasada, es 5. Para verlo con más claridad, en lugar de estrellas consideremos 5 clavos clavados a medias en una tabla plana: si los rodeamos con un lazo y lo apretamos alrededor del conjunto hasta que el cordel quede tenso, hay tres posibilidades: el cordel forma un pentágono con los 5 clavos como vértices, el cordel forma un cuadrilátero con 4 clavos como vértices y 1 en su interior, el cordel forma un triángulo con 3 de los clavos como vértices y 2 en su interior. En el primer caso, 4 cualesquiera de los clavos forman un cuadrilátero convexo; en el segundo caso, ya tenemos el cuadrilátero; y en el tercero, los 2 clavos interiores forman un cuadrilátero convexo con 2 de los del triángulo. La ilustración adjunta (tomada del artículo de Clara Grima citado la semana pasada) lo muestra con claridad.

Cabría pensar que, si para tener la certeza de poder formar un cuadrilátero convexo bastan 5 puntos, con 6 tendremos la seguridad de poder formar un pentágono convexo; pero no es así: para ello hacen falta un mínimo de 9 puntos. ¿Y para tener la certeza de poder formar un hexágono convexo?

Primidad y divisibilidad

Puesto que el tema de la semana pasada era el desorden, un concepto tan escurridizo como el de azar, muchos comentarios giraban alrededor del caos, la aleatoriedad y otras cuestiones que lindan con la filosofía. Y en ese contexto nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós propuso un curioso problema:

Si disponemos los enteros entre 1985 y 1995 (ambos incluidos) seguidos en un cierto orden, ¿el número obtenido podrá ser en algún caso un número primo?

El primero de estos enormes números de 44 cifras sería: 19851986198719881989199019911992199319941995, que evidentemente no es primo porque termina en 5, y por tanto es divisible por 5.

Podemos saber si un número, por largo que sea, es divisible por 5 sin más que ver su última cifra: si es un 0 o un 5, el número será divisible por 5; de lo contrario, no lo será

Otro “usuario destacado”, Francisco Montesinos, dio la respuesta correcta, pero sin demostrarla, de modo que invito a mis sagaces lectoras/es a desordenar y reordenar los once números del 1985 al 1995 de manera que formen un primo, o a demostrar que no es posible.

Podemos saber si un número, por largo que sea, es divisible por 5 sin más que ver su última cifra: si es un 0 o un 5, el número será divisible por 5; de lo contrario, no lo será. También podemos saber inmediatamente si es divisible por 4, pues para ello el número formado por sus dos últimas cifras ha de ser múltiplo de 4. Y, análogamente, para que sea divisible por 8 tiene que serlo el número formado por las tres últimas cifras.

Menos evidentes son los criterios de divisibilidad por 3, por 9 y por 11. ¿Los recuerdas? ¿Puedes demostrarlos? ¿Puedes deducirlos?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.