Velas enigmáticas

La probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar de la baraja del Set —el juego en el que nos hemos centrado las dos últimas semanas—, formen un set es, sencillamente, la probabilidad de que la tercera carta extraída sea la única de las 79 restantes que puede “conjuntar” con las dos primeras, sean estas las que fueren, o sea, 1/79.

Como el juego comienza colocando sobre la mesa 12 cartas al azar, habrá tantos comienzos posibles como combinaciones de 81 elementos tomados de 12 en 12, o sea, 81.80.79…70/12!: unos 70,7 billones.

El número máximo de cartas que puede haber sobre la mesa sin que se pueda formar set alguno es 20; aunque con 19 la probabilidad de que eso ocurra ya es inferior a una entre mil millones. Como anécdota curiosa, esto lo demostró el matemático italiano Giuseppe Pellegrino en 1971, antes de que se creara el Set (pero ese es otro artículo).

Y en cuanto a la media de sets que podemos esperar con 12 cartas sobre la mesa, esto es lo que comenta nuestro “usuario destacado” Francisco Montesinos: “Si tenemos 12 cartas extraídas al azar, para formar un set la primera se puede escoger de 12 maneras , la segunda de 11 y la tercera tiene una probabilidad p = 10/79 de estar entre las diez restantes, por lo que el número probable de sets será 12.11.(10/79)/6 = 220/79 = 2,78″.

En el caso del Set reducido, con solo 3 características y 27 cartas, la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar formen set será 1/25, ya que, para cualquier pareja inicial, solo una de las 25 cartas restantes formará set con ellas dos.

No hay más cera que la que arde

Con los cirios pascuales aún humeantes, parece un buen momento para plantear algunos problemas relativos a las velas y sus tiempos de combustión:

1. El lunes encendí una vela y la mantuve encendida durante una hora. El martes encendí dos velas y las mantuve encendidas durante una hora. El miércoles encendí tres velas y las mantuve encendidas durante una hora, y así sucesivamente, encendiendo cada día una vela más y manteniéndolas encendidas una hora… hasta hoy, que me he quedado sin velas. Sabiendo que cada vela tarda 4 horas en consumirse por completo, ¿qué día es hoy?

2. “¡Qué rápido pasa el tiempo! —dice con pesadumbre un anciano mientras guarda las velas de su última tarta de aniversario—. Anteayer había 77 velitas en mi tarta de cumpleaños y el año que viene necesitaré 3 más”. ¿Cuándo es su cumpleaños?

3. Tenemos dos velas cilíndricas de la misma altura y el mismo material, pero una algo más gruesa que la otra, de manera que una tarda 4 horas en consumirse por completo y la otra tarda 5 horas. En un momento dado las apagamos las dos a la vez y vemos que la altura de la vela más gruesa es cuatro veces mayor que la de la otra. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

Y, para terminar, uno muy similar al anterior tomado de la XX Olimpíada Matemática:

4. Hemos colocado en el jardín dos velas de distinta altura. La más larga mide 28 cm y tarda en consumirse 7 horas, mientras que más corta, que es más gruesa, tarda en consumirse 11 horas. Las encendemos las dos a la vez cuando empieza la fiesta y al cabo de 3 horas, cuando se van los amigos, las apagamos. En ese momento tienen las dos la misma altura. ¿Qué altura tenía la vela más corta en origen?

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