La moneda de Frobenius

¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que no puede obtenerse juntando monedas de un determinado valor?

Ferdinand Georg Frobenius.
Ferdinand Georg Frobenius.

La probabilidad de que algo ocurra viene dada por la relación entre los casos favorables y los casos posibles, y así se expresa a nivel coloquial cuando se habla, por ejemplo, de “una probabilidad entre mil”. En matemáticas se dice lo mismo, pero en forma de fracción: así, hay una probabilidad entre seis de sacar un 5 al lanzar un dado, y por eso decimos que dicha probabilidad es 1/6 (o sea, una sexta parte de las posibilidades en juego).

Pero no siempre es fácil evaluar los casos favorables y/o los casos posibles. El error de d’Alembert mencionado la semana pasada consistió en no darse cuenta de que los tres casos posibles: cara-cara, cara-cruz, cruz-cruz, no son igualmente probables (equiprobables, en la jerga matemática), pues dos caras o dos cruces solo pueden salir de una manera -si ambas monedas caen del mismo lado- mientras que la combinación de una cara y una cruz puede salir de dos maneras: cara en la primera moneda y cruz en la segunda o viceversa. Por lo tanto, en realidad los casos posibles son cuatro: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz. En tres de estos casos hay al menos una cara, por lo que la probabilidad pedida es 3/4, y no 2/3 como estimó d’Alembert.

En cuanto a la paradoja de Bertrand, la figura de la semana pasada sugiere que la probabilidad de trazar al azar una cuerda mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito es 1/3, ya que las cuerdas azules ocupan dos de los tres arcos iguales en que el triángulo divide la circunferencia, mientras que a las verdes solo les corresponde uno. Pero también podríamos enfocarlo así:

Consideremos un radio perpendicular a un lado del triángulo inscrito. Todas las cuerdas perpendiculares a dicho radio que quedan entre el centro de la circunferencia y el lado del triángulo son mayores que él, y todas las que quedan entre el lado y el otro extremo del radio son inferiores. Y como el lado del triángulo equilátero inscrito divide al radio en dos partes iguales, ahora las cuerdas verdes de la figura abarcan el mismo espacio que las azules, y por tanto la probabilidad pedida será 1/2. Y también hay otros enfoques posibles con distintos resultados (invito a mis sagaces lectoras/es a buscar un planteamiento en el que la probabilidad pedida resulte -o parezca- ser 1/4).

Por lo que respecta al hagadá de los caminantes sudorosos, de lo que se trata (según le explica el rabino a su discípulo) es de cuestionar el enunciado: puesto que llevan el mismo tiempo caminando bajo el sol por un sendero polvoriento, ¿cómo es posible que uno de ellos tenga la cara sucia y el otro la conserve limpia?

El problema de la moneda

De la moneda de d’Alembert podemos pasar a la de otro ilustre matemático, Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), que hizo importantes aportaciones a la teoría de grupos y es conocido sobre todo por el denominado “problema de la moneda” (o, en su honor, “problema de Frobenius”), que consiste en hallar la mayor cantidad de dinero que no puede obtenerse utilizando solo monedas (y/o billetes) de un determinado valor; esa cantidad máxima es el número de Frobenius para ese conjunto de monedas. Por ejemplo, con monedas de 2 euros y billetes de 5, el número de Frobenius es 3, ya que toda cantidad par se puede obtener con monedas de 2 y toda cantidad impar mayor que 3 se puede expresar de la forma 5+2n, por lo que con un billete de 5 y monedas de 2 podemos pagar cualquier cantidad entera de euros (excepto 1 y 3) sin que tengan que darnos cambio.

Los casos con monedas reales son muy simples, así que invito a mis sagaces lectoras/es a hallar el número de Frobenius para hipotéticas monedas de 3 y 5 euros, de 7 y 9 u otras parejas atípicas.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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Sobre la firma

Carlo Frabetti

Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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