Cien años del matemático que exploró las simetrías infinitas

Hoy, 11 de octubre, se cumplen 100 años del nacimiento de uno de los más importantes matemáticos indios de la historia, Harish-Chandra. Formado como físico bajo la tutela de dos premios Nobel, inició su trabajo en matemáticas estudiando las simetrías del espacio-tiempo de la teoría de la relatividad de Einstein. Sus trabajos posteriores, puramente matemáticos –sobre la teoría de representaciones de dimensión infinita de los llamados grupos semisimples–, han sido muy influyentes. Fueron una de las principales fuentes de inspiración en el desarrollo del programa de Langlands, una ambiciosa hoja de ruta de investigación matemática que relaciona áreas como el álgebra, la teoría de números, el análisis o la geometría.

Harish-Chandra Mehrotra nació en 1923 en Kanpur, en el norte de India. Tras graduarse en la Universidad de Allahabad, siguió sus estudios de física en el Indian Institute of Science en Bangalore bajo la dirección de C. V. Raman –premio Nobel de Física en 1930– y de Homi J. Bhabha.

Emigró a Cambridge (Reino Unido) en 1945, justo antes de que Bhabha fundara el prestigioso Tata Institute of Fundamental Research –donde se formarían las siguientes generaciones de matemáticos y físicos indios–. Poco tiempo después, se trasladó a EE UU, donde desarrolló el resto de su carrera. Aunque siempre tuvo el deseo de haber jugado un papel mayor en el fomento de la ciencia en la India, su mala salud y prematura muerte lo impidieron.

Obtuvo su doctorado en física en su etapa en la Universidad de Cambridge, bajo la dirección de Paul Dirac –también Premio Nobel de Física, en 1933–, pero, al concluirlo, decidió cambiar su tema de investigación a las matemáticas. Este traspaso entre disciplinas es más habitual de lo que se puede pensar. La física fundamental, desde mediados del siglo XX, necesita de matemáticas cada vez más avanzadas para su formalización, por lo que muchos físicos que se aproximan a la frontera de la investigación matemáticas deciden dar un paso más y modificar su especialización.

En el caso de Harish-Chandra, el rigor lógico que se exige en las demostraciones matemáticas fue también un argumento a favor del salto. Mientras que los físicos teóricos se apoyan en una intuición, que guía su trabajo y les permite anticipar fenómenos antes de que se verifiquen experimentalmente, –de la que, según Harish-Chandra, carecía–, él se sentía más seguro cuando podía respaldar sus resultados con un argumento matemático riguroso. Sin la intuición requerida, pensaba que su investigación física podía llevarle a error.

Durante su tesis, Harish-Chandra estudió el llamado grupo de Poincaré, que es una construcción algebraica que captura las simetrías del espacio-tiempo de la teoría de la relatividad de Einstein. En concreto, un grupo de simetría de un objeto dado –por ejemplo, un cuadrado– es el conjunto de operaciones que se pueden realizar sobre el mismo, sin alterar sus propiedades. Por ejemplo, al girar el cuadrado 90 grados, vuelve a tener el mismo aspecto, por lo que esta operación forma parte del grupo de simetrías del cuadrado.

Al considerar el plano euclídeo –es decir, el plano junto con la noción de distancia–, cualquier giro pertenece a su grupo de simetrías, pues, al girar el plano, no cambia la distancia entre ningún par de puntos. Sin embargo, al estirarlo, la distancia entre los puntos se hará mayor, por lo que esta operación no entra dentro del grupo de simetrías del plano.

En la teoría de la relatividad de Einstein se considera el espacio-tiempo junto con la llamada métrica de Minkowski –en lugar de la distancia habitual–. Y el grupo de Poincaré es el grupo de simetrías del espacio-tiempo, es decir, todas las transformaciones que no cambian la métrica de Minkowski.

En su tesis doctoral, Harish-Chandra estudió las representaciones del grupo de Poincaré de dimensión infinita. Una representación de un grupo en un espacio lineal consiste en asignar, a cada elemento del grupo, una transformación lineal de dicho espacio –es decir, una función que cumple ciertas propiedades–, lo que permite usar técnicas de álgebra lineal en el estudio de los grupos. El espacio lineal puede ser finito o infinito; en el caso del grupo de Poincaré, éste admite ciertas representaciones de dimensión infinita, que no se pueden descomponer como representaciones finitas. Aunque éstas son más difíciles de manejar que las finitas, son una herramienta necesaria para estudiar ciertos grupos.

Como matemático, Harish-Chandra estudió las representaciones infinitas de otros grupos, más concretamente los llamados grupos semisimples. Por aquellos trabajos, fue un firme candidato a la Medalla Fields en 1958. Sin embargo, parece que un miembro del jurado no quiso que se diera la medalla a dos matemáticos del grupo francés Bourbaki –consideraba que lo eran tanto Harish-Chandra como René Thom, quien recibió el galardón aquel año–. Harish-Chandra nunca fue miembro de este grupo, pero, quizá, se pensó que su estilo, con su atención al detalle y el rigor, era próximo al que se asociaba al famoso colectivo.

Después de trabajar en la Universidad de Columbia (Nueva York, EE UU), en 1963 fue nombrado profesor permanente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE UU). Desde 1969 tuvo varios infartos, posiblemente agravados por su intenso ritmo de trabajo –alargaba su jornada hasta altas horas de la noche–. Su médico insistió en que tomara vacaciones anualmente, cosa que aprovechó para fomentar su afición por la pintura –en particular, era un gran admirador de Gauguin–, y finalmente falleció en 1983 de un infarto mientras caminaba por la tarde el último día de un congreso en honor a Émile Borel, su amigo y colaborador.

Tomás Gómez de Quiroga es investigador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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