Problemas insulares

Como vimos la semana pasada, el número 2147483647 es un número doble de Mersenne, porque es igual a 2³¹ – 1 y 31 (el exponente del 2) también es un número de Mersenne. Hay otro número doble de Mersenne fácil de hallar: el 7, ya que 7 = 2³ – 1 y 3 también es un número de Mersenne: 3 = 2² – 1. No tan fácil es el 127 = 2⁷ – 1, y francamente difícil el que falta (de momento solo se conocen cuatro), 2 elevado a 127 – 1, que es un número de 39 cifras. Cuando se habla de números dobles de Mersenne se suele sobrentender que estamos hablando de números primos, como los cuatro que acabamos de ver. ¿Puedes encontrar algún número doble de Mersenne no primo?

En cuanto a los primos “trillizos”, comenta Salva Fuster: “Los trillizos 3, 5 y 7 son únicos, pues si existiesen otros tres, tendrían que ser p, p+2 y p+4, teniendo cada uno de ellos un resto diferente al dividirlos entre 3, de modo que alguno de ellos sería múltiplo de 3, y , por lo tanto, no sería primo”. (Al dividir un número por 3 solo hay tres restos posibles: 0, 1 y 2).

Y por lo que respecta a los números compuestos consecutivos, Manuel Amorós señala que “podemos obtener una secuencia de compuestos consecutivos arbitrariamente grande (lo cual quiere decir que podemos encontrar primos separados a la distancia que queramos). Consideremos los números n!+2, n!+3, n!+4, … , n!+n. Todos estos n-1 enteros van seguidos y son compuestos”.

Obsérvese que, con este método, para obtener ocho compuestos consecutivos, como se pedía la semana pasada, tendríamos que avanzar mucho en la secuencia de los números naturales y partir de 9!+2 = 362882, cuando hay algunos octetos mucho más próximos, como 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121. Esto da idea de lo difícil que es abordar los escurridizos números primos por métodos distintos a los de la fuerza bruta de los cálculos exhaustivos.

La isla de los adúlteros

Ignacio Alonso planteó un interesante problema de islas flotantes (ver comentario 9 de la semana pasada) que me llevó a acordarme de otros problemas “insulares”. He aquí un par de ellos:

1. Un magnate caprichoso compra cuatro islotes muy próximos entre sí en un archipiélago del Pacífico y encarga a un arquitecto que construya cuatro hoteles, uno en cada islote, de modo que cada edificio equidiste de los otros tres. ¿Es posible?

2. En una isla viven cien matrimonios heterosexuales sin relación con el resto del mundo. Todos los hombres engañan a sus mujeres. Es una isla pequeña y todas las mujeres se enteran enseguida cuando cualquier hombre engaña a su mujer, excepto cuando es su propio marido, y el pudor prohíbe que una mujer le dé esa información a otra. La ley de la isla castiga severamente el adulterio: si una mujer comprueba que su marido le es infiel debe matarlo ese mismo día a medianoche de un disparo. Nadie desobedece la ley y un disparo se oye en toda la isla, y todas las mujeres razonan de forma impecablemente lógica. Un día la reina del país visita la isla y les dice a todas las mujeres que al menos uno de los hombres de la isla engaña a su mujer. ¿Qué ocurre tras esa información suministrada por la reina?

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