Primos lejanos

La secuencia de los números de Mersenne (que son los de la forma 2ⁿ – 1), de los que hablamos la semana pasada, incluye dos primos, el 3 y el 7, entre sus primeros términos, lo que podría llevarnos a pensar que no van a ser escasos. Nada más falso. Entre los números menores de 100, solo encontramos otro primo, el 31, que es igual a 2⁵– 1, y entre los números de tres cifras solo hay uno, 127 = 2⁷ – 1. Estos cuatro primos, 3, 7, 31 y 127, ya eran conocidos en tiempos de Euclides, pero hasta el siglo XV no se descubrió el quinto primo de Mersenne: 8191 = 2¹³ – 1. En el siglo XVI, el matemático boloñés Pietro Antonio Cataldi descubrió otros dos: 131071 = 2¹⁷ – 1 y 524287 = 2¹⁹ – 1, y habría que esperar hasta el siglo XVIII para que Euler, aplicando el método de división por tentativa de Cataldi, descubriera el octavo primo de Mersenne: 2147483647 = 2³¹.

El octavo primo de Mersenne es lo suficientemente peculiar como para que le dediquemos unas líneas. En primer lugar, es un número doble de Mersenne, denominado así porque 31, el exponente del 2, es a su vez un número de Mersenne. Hay otros números dobles de Mersenne, y seguro que mis sagaces lectoras y lectores pueden hallar alguno de ellos (y también estoy seguro de que no pueden hallarlos todos, a no ser que consulten una página especializada).

Pero el número 2147483647 también es muy popular en el mundo de la computación, pues es el mayor número entero en los sistemas con arquitectura de 32 bits (¿por qué?), y por eso también es la puntuación máxima posible en algunos videojuegos. Como curiosidad, en la forma (214) 748-3647 es la secuencia de dígitos que con más frecuencia se presenta como ejemplo de un número de teléfono de Estados Unidos.

A partir del octavo, los primos de Mersenne crecen vertiginosamente y están cada vez más alejados unos de otros, hasta llegar al M₅₁, que, como vimos la semana pasada, tiene casi 25 millones de cifras y es el mayor número primo conocido hasta ahora.

Distancia entre primos consecutivos

Pero la enorme distancia entre dos grandes primos de Mersenne no es la mayor posible, pues podemos encontrar primos consecutivos tan alejados como queramos.

Solo hay dos primos consecutivos en sentido estricto: el 2 y el 3, puesto que 2 es el único primo par. Los primos que son impares consecutivos, como 3 y 5, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, se llaman gemelos (¿puedes hallar otras parejas de gemelos?). En este sentido, el 3, el 5 y el 7 son “trillizos”, los únicos, por cierto (¿por qué?).

Entre los 100 primeros números naturales, los primos más alejados son el 89 y el 97, lo que significa que en este intervalo no hay ninguna secuencia de más de siete números compuestos consecutivos. ¿Cómo hallarías (sin consultar ninguna tabla, se entiende) una secuencia de ocho números compuestos consecutivos?

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