La hormiga de Langton

En respuesta a lo planteado la semana pasada, solo 3 de los 8 tetracubos no pueden obtenerse por “engrosamiento” de algún tetrominó (y un par de ellos son simétricos especulares, como se ve en la figura).

Sin embargo, basta con echar una ojeada a la ilustración de la semana pasada para ver que entre los pentacubos la situación se invierte: solo 3 de los 13 pentacubos son versiones tridimensionales de sendos pentominós (F, W y X).

Con 9 tricubos I se puede formar un cubo de 3 x 3 x 3 de tres maneras distintas (ver comentario 75 de Policubos).

Con 9 tricubos V también se puede, en principio, formar un cubo de 3 x 3 x 3, como se puede ver aplicando un criterio de paridad similar al utilizado en semanas anteriores para resolver problemas análogos en dos dimensiones. En efecto, si coloreamos los 27 cubitos unitarios de un cubo de 3 x 3 x 3 alternativamente en blanco y negro, como si fuera un damero tridimensional, tendremos 13 cubitos de un color y 14 de otro, pongamos 13 blancos y 14 negros. Si en 5 de los 9 tricubos V coloreamos 2 cubitos de negro y 1 (el central) de blanco, y en los otros 4 tricubos coloreamos dos cubitos de blanco y uno de negro, tendremos 2 x 5 + 4 = 14 cubitos negros y 5 + 2 x 4 = 13 cubitos blancos alternantes, luego la construcción es posible.

Se hace hormiguero al andar

Hemos visto en las últimas semanas, al hablar de los poliominós y del juego de la vida, cuánto da de sí una cuadrícula, sea un tablero de ajedrez o una hoja de papel cuadriculado, y ya sea como espacio a recubrir o como escenario de las andanzas de autómatas celulares como los de Conway.

El gran éxito del juego de la vida estimuló la creación de otros autómatas similares, y uno de los más interesantes es la hormiga de Langton, inventada por el científico informático estadounidense Christopher Langton en 1986.

La hormiga de Langton se mueve en una cuadrícula en la que cada casilla puede estar en uno de dos estados: blanco o negro, 1 o 0, “viva” o “muerta”, encendida o apagada, etc.

Una forma sencilla de “poner en marcha” la hormiga de Langton es la siguiente: en una hoja de papel cuadriculado se marcan algunas casillas al azar con lápiz (no con bolígrafo, pues las marcas se han de poder borrar) y luego, también al azar se sitúa en una de las casillas la “hormiga”, que es una flechita que apunta hacia uno de los cuatro lados del cuadradito que la contiene: norte, sur, este u oeste. La hormiga opera de acuerdo con las siguientes reglas:

Si está en una casilla blanca, cambia el color de la casilla, gira noventa grados a la izquierda y avanza una casilla.

Si está en una casilla negra, cambia el color de la casilla, gira noventa grados a la derecha y avanza una casilla.

Imaginemos la situación inicial más simple: la hormiga en medio de una cuadrícula con todas las casillas blancas. ¿Qué ocurrirá? ¿Aumentará indefinidamente el número de casillas negras o alcanzará un máximo insuperable?

Invito a mis sagaces lectoras/es a buscar situaciones de partida que den lugar a desarrollos interesantes.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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