Policubos

Aumentando el grosor de un poliominó hasta hacerlo igual al lado de los cuadrados obtenemos un policubo

Policubos formados por un cierto número de cubos pegados entre sí por algunas de sus caras.
Policubos formados por un cierto número de cubos pegados entre sí por algunas de sus caras.

Sobre la relación del tetrominó O con el juego de la vida de Conway, mencionada la semana pasada, Salva Fuster ha enviado una interesante reflexión:

“El hecho de no tener variación y que estén vivas únicamente las casillas del tetrominó O de manera indefinida no lo convierte en “no vida”. Si pintásemos cada generación de un color (o quizá alternando entre dos colores) se vería una variación. Me recuerda a una situación de equilibrio químico en el que para una cierta cantidad de dos sustancias, parece que no esté ocurriendo nada, a pesar de que pueda estar produciéndose un intercambio continuo entre ambas sustancias (aunque en la realidad hay pequeñas variaciones sobre el equilibrio). En definitiva, quizá pueda pensarse que “vida” podría ser contrario a “estático”, pero no tiene por qué ser así”. (Ver comentario 25 de Poliformas).

La propiedad que comparten los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares es que son los únicos polígonos regulares que pueden teselar el plano, pues son los únicos cuyos ángulos interiores son divisores de 360º (60º el del triángulo equilátero, 90º el del cuadrado, 120º el del hexágono).

Poliominós “engrosados”

Obviamente, los poliominós reales no son figuras planas, sino piezas de madera o plástico con un cierto grosor. Si aumentamos dicho grosor hasta hacerlo igual a la longitud de los lados de los cuadrados, estos se convierten en cubos, y el poliominó, en un policubo, un cuerpo tridimensional formado por un cierto número de cubos pegados entre sí por algunas de sus caras. De este modo, el dominó daría lugar a un bicubo y los dos trominós, a sendos tricubos distintos (I y V), que son todos los posibles. ¿Ocurre lo mismo con los tetrominós, o hay algún tetracubo que no se puede obtener por mero “engrosamiento” de un tetrominó? ¿Cuántos pentacubos distintos podemos formar acoplando entre sí cinco cubos iguales de todas las maneras posibles?

También se suelen denominar policubos o multicubos los sets de pequeños cubos encajables que sirven para formar los policubos geométricos antes definidos. Y es muy conveniente hacerse con una caja de estos multicubos (se encuentran con facilidad en las tiendas de juegos) para abordar los problemas antes planteados y otros similares, ya que las figuras tridimensionales de cierta complejidad no son fáciles de representar en una hoja de papel. Problemas como los siguientes:

Es evidente que con 9 tricubos I podemos formar un cuco de 3 x 3 x 3; pero ¿de cuántas maneras distintas podemos hacerlo?

¿Y con 9 tricubos V, también podemos formar un cubo de 3 x 3 x 3?

Al hablar de formar cubos de 3 x 3 x 3 con policubos, es inevitable mencionar el cubo Soma, un famoso rompecabezas inventado por Piet Hein en los años treinta del siglo pasado y que alcanzó gran popularidad. Se trata de formar un cubo de 3 x 3 x 3 con el tricubo V y seis tetracubos distintos.

Las piezas de los cubos Soma, Bedlam y Conway también se prestan a construir diversos ortoedros y otros cuerpos geométricos, y compensarán con largas horas de entretenimiento (o desesperación) a quienes se hagan con ellas

En la misma línea, aunque bastante más difícil de resolver, hay que mencionar también el cubo de Bedlam, un rompecabezas inventado por el matemático británico Bruce Bedlam, que consiste en construir un cubo de 4 x 4 x 4 con 13 piezas policúbicas: un tetracubo (el L) y 12 pentacubos.

Y, para terminar, el consabido más difícil todavía: el cubo de Conway, de 5 x 5 x 5, del que ya nos ocupamos en su día junto con el Soma.

Huelga señalar que las piezas de los cubos Soma, Bedlam y Conway también se prestan a construir diversos ortoedros y otros cuerpos geométricos, y compensarán con largas horas de entretenimiento (o desesperación) a quienes se hagan con ellas.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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