Poliominós

El pentominó F, como se apuntó la semana pasada, es el “oscilador” R en el juego de la vida de Conway. Un oscilador es un patrón que se autorreproduce tras un cierto número de jugadas (o “generaciones” en la jerga del juego). El oscilador R no es en absoluto evidente, pues necesita nada menos que 1.103 generaciones para volver a su forma original, y en el proceso genera cientos de “naves espaciales” y otros patrones intermedios.

¿Qué otros pentominós, tetrominós o trominós son patrones destacados en el juego de la vida?

Es fácil encontrar en la red las soluciones a los rompecabezas con pentonimós planteados la semana pasada, por lo no voy a spoilear a quienes quieran seguir intentándolo, e insisto en la conveniencia de adquirir un juego de pentominós en cualquier tienda especializada.

Una gran familia de poliformas

Del mismo modo que los triángulos, los cuadriláteros y los pentágonos son polígonos de tres, cuatro y cinco lados respectivamente, los trominós, tetrominós y pentominós, de los que nos hemos ocupado en las últimas semanas, son poliominós de tres, cuatro y cinco cuadrados adyacentes.

Los poliominós fueron denominados así y estudiados sistemáticamente, a partir de los años cincuenta del siglo pasado, por el matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb, que, además de su interés por los juegos matemáticos, es conocido por sus importantes aportaciones a la teoría de codificación. Y, una vez más, fue Martin Gardner quien popularizó los poliominós en su sección de juegos matemáticos de Scientific American.

Como ya hemos podido empezar a ver en semanas anteriores, a medida que aumenta el número de cuadrados de los poliominós se incrementa rápidamente el número de formas distintas posibles. Solo hay 2 trominós libres, 5 tetrominós, 12 pentominós y 35 hexominós. ¿Cuántos hexominós no libres hay? ¿Y heptominós libres y no libres? ¿Sigue alguna pauta la secuencia los números de poliominós a medida que aumenta el número de cuadrados?

Inciso: Los poliominós “no libres” se denominan “unilaterales” (pues también se cuentan los obtenidos por simetría especular), y si no se especifica lo contrario, y puesto que los poliominós se suelen utilizar como piezas físicas de rompecabezas, se sobreentiende que se habla de los libres. Por la misma razón, en ocasiones no se tienen en cuenta los poliominós “con agujeros”, que, como veremos acto seguido, aparecen a partir de los heptominós. Fin del inciso.

Vimos que con los 12 pentominós se pueden formar rectángulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20. ¿Se puede formar algún rectángulo con los 35 hexominós?

El consabido desarrollo plano del cubo en forma de cruz es un hexominó. ¿Hay otros hexominós que también son posibles desarrollos planos del cubo? ¿Cuántos y cuáles son?

Con los heptominós se inaugura un tipo de poliominó que no existe en los casos anteriores: el poliominó con agujeros. Solo hay un heptominó con agujero, pero entre los octominós hay varios. ¿Cuántos y cuáles?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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