19 rebotes en 25 metros

Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), resuelve el cuarto desafío matemático que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aquí el vídeo). Una vez realizado el sorteo entre las respuestas correctas, de las 405 recibidas, la ganadora de la colección de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Eva Català, quien tiene 16 años y está a punto de comenzar 1º de bachillerato en el IES L'Eliana (Valencia) además de proseguir con sus Estudios Profesionales de Música en percusión y piano.

Para evitar confusiones y en atención también a nuestros lectores sordos incluimos la solución por escrito a continuación:

La manera más sencilla de analizar la trayectoria de la bola en la mesa de billar consiste en dibujar copias de la mesa pegadas entre sí y trazar una línea recta en la dirección original de la bola, como muestra la figura de abajo. Cada intersección de la recta con una línea vertical o una línea horizontal coincide con un rebote en una banda.

Llamemos X al número de cortes con líneas verticales e Y al número de cortes con líneas horizontales. Teniendo en cuenta las dimensiones del tapete y que la bola ha recorrido 25 metros, el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la figura proporciona la igualdad: 25^2 = (2X)^2 + Y^2

Hay tres soluciones posibles de esta ecuación con X e Y enteros no negativos y son las siguientes:

25^2 = 24^2 + 7^2; donde  X=12, Y=7

25^2 = 0^2 + 25^2; donde  X=0, Y=25

25^2 = 20^2 + 15^2; donde  X=10, Y=15

La primera solución corresponde a la trayectoria descrita en la primera ecuación y en ese caso el número de rebotes en las bandas es 12+7=19. Es fácil comprobar que en este caso la bola no ha pasado anteriormente por el centro de la mesa ni por ninguna esquina. En la figura de abajo, que nos ha enviado Alejandro Montes desde Ciudad de México junto a su solución, se puede ver la solución gráfica en la mesa original.

La segunda solución corresponde a lanzar la bola perpendicularmente sobre la banda más larga pero en ese caso la bola regresa al centro de la mesa después de haber recorrido un metro.

La tercera solución corresponde a la trayectoria de la figura de la izquierda y si bien también regresa al centro de la mesa después de haber recorrido 25 metros, ya ha pasado por el centro varias veces anteriormente y por lo tanto esta solución no es válida. La única solución que cumple todas las condiciones del problema es la primera, así que el número de rebotes que nos pide el problema es 19.

Por último no queremos despedirnos de este desafío sin destacar que, en una feliz coincidencia, está relacionado con algunas de las investigaciones reconocidas hace pocos días con las Medallas Fields. Tanto Maryam Mirzakhani, que ha sido la primera mujer en recibir la medalla, como Artur Ávila, el primer matemático latinoamericano galardonado, han trabajado en problemas que tienen que ver con billares, aunque en un sentido mucho más general que el habitual.