El número de los ‘desafiadores’

Ya hay solución para el desafío matemático extraordinario de Navidad presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española con motivo del sorteo de la lotería. Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), presentó el desafío (pincha aquí para ver el enunciado completo) y nos da ahora la respuesta. Recordemos que el reto consistía en averiguar a qué número de Lotería nos hemos suscrito los desafiadores, sabiendo que ese número tiene las cinco cifras distintas y otra curiosa propiedad: al restarle el número correspondiente al mes anterior, el resultado es divisible por el número del mes en curso.

Se han recibido 1.251 soluciones procedentes de 15 países distintos, de las que el 92 % ha encontrado el número 83.159 al que estamos abonados (y que, por desgracia, no ha ganado ni siquiera un reintegro), con una explicación correcta de cómo lo han logrado. El ganador de una biblioteca matemática, como la que ofreció EL PAÍS en el quiosco, y del libro Desafíos Matemáticos, publicación de SM ofrecida por cortesía de la RSME, ha sido José Olarrea Busto, de Madrid.

Primero, la segunda condición

La primera cosa que conviene hacer para resolver el desafío es centrarnos en la segunda característica que pedíamos a nuestro número. Así, si llamamos L al número que buscamos, la segunda condición nos dice que 1 divide a L - 12 (aunque como esta condición no da ninguna información sobre L, la olvidamos), que 2 divide a L - 1, que 3 divide a L -2, que 4 divide a L - 3, y así sucesivamente hasta llegar a que 12 divide a L - 11. Aunque parecen 11 condiciones sobre 11 números distintos: L - 1, L - 2, L - 3,..., L - 11, vamos a intentar convertirlo en condiciones sobre un sólo número, y para eso es mejor verlo en abstracto.

Así, si llamamos m al número de mes, la condición es que m divida a L - (m-1) = L+1 - m, pero, como m siempre divide a m, esto es equivalente a que m divida a L+1. Es decir, queremos que L+1 sea divisible entre 2, 3, 4,...11 y 12. O lo que es lo mismo, que L+1 sea un múltiplo común de 2, 3, 4,…11 y 12, lo que se puede resumir en que sea un múltiplo de su mínimo común múltiplo.

Y ahora, mirando los factores de estos números, resulta que:

m.c.m.(2, 3, 4,...,11, 12) = (2^3) x (3^2) x 5 x 7 x 11 = 27720

 y por tanto L+1 tiene que ser uno de estos números (y no hay más porque L+1 tiene que estar entre 1 y 100.000):

27720 x 1=27720,

27720 x 2=55440,

27720 x 3=83160.

 Por tanto L podría ser 27719, 55439 o 83159.

 Recordando ahora la primera condición, que las cinco cifras tienen que ser distintas, concluimos que el número al que estamos abonados es el 83159.

Vuestras respuestas

La mayoría de las soluciones correctas utilizaban, quizás con pequeñas variaciones, este argumento. Pero un 11% de los lectores que han entrado en el sorteo han conseguido dar con el número al que estamos abonados utilizando los datos de algunos meses particulares para ir hallando condiciones sobre sus dígitos. Por ejemplo, como L-9 es divisible entre 10 entonces la última cifra es 9. Esta manera de hallar L es más larga, aunque hay quien, como Álvaro Albizuri. que nos escribía desde Northampton (Reino Unido), la ha abordado de manera muy eficaz. En cualquier caso es una solución válida.

Casi todas las respuestas erróneas lo son por no haber tenido en cuenta que las cifras han de ser distintas y bien dar como solución el 27719 o decir que debemos estar abonados a tres números.

Un gran desafío

Estimar el mínimo común múltiplo de los n primeros enteros positivos es un problema muy importante de las matemáticas. La función log mcm (1,…,n) fue introducida por Chebychev en 1850 en su estudio sobre la distribución de los números primos. En 1896 J. Hadamard y J-C. de laVallée Poussin demostraron que log mcm (1,…, n) era aproximadamente n. Esto es equivalente a afirmar que el número de primos menores que n es aproximadamente n/log n (como afirma el Teorema de los números primos).

Demostrar que el error que se comete al aproximar log mcm (1,…,n) por n no es mucho mayor que la raíz cuadrada de n se conoce como la Hipótesis de Riemann, uno de los siete Problemas del Milenio, y es considerado por muchos matemáticos como el problema sin resolver más importante de las matemáticas.

Y hasta aquí el Desafío Extraordinario de la Navidad de 2013. Muchas gracias por vuestra participación y Felices Fiestas para todos.