Matemáticas para predecir la propagación del coronavirus

Desde tiempo inmemorial la humanidad ha vivido sometida a la amenaza de las epidemias. El terror causado por la aparición inesperada de enfermedades graves, que se extienden de forma incontrolada y misteriosa entre una población indefensa ha sido descrito reiteradamente a lo largo de la historia, y ha dejado una huella imborrable en el imaginario colectivo. Actualmente, gracias al esfuerzo de profesionales de muy distintos campos es técnicamente posible organizar una respuesta sanitaria eficaz en un breve espacio de tiempo. Una de las herramientas clave para lograr este objetivo es la modelización matemática de los procesos contagiosos y en concreto, la formulación de indicadores fiables para evaluar su evolución temporal. Este tipo de indicadores son fundamentales para valorar el desarrollo de epidemias como la del coronavirus.

Un punto de partida para estudiar la propagación de epidemias lo constituyó el llamado modelo SIR (iniciales de Susceptibles, Infectados y Recuperados) formulado en 1927 por el médico militar Anderson Gray Mc Kendrick (1876-1943) y el químico William Ogilvy Kermack (1898- 1970). Este modelo estudia una población en la que puede desarrollarse una epidemia, dividida en tres grupos: 1) los individuos susceptibles de contraer la enfermedad, cuya población en el instante t representamos por S(t); 2) los infectados I(t) y 3) los recuperados R(t). En este último término se incluyen tanto los que superan la enfermedad como los que fallecen por su causa. Llamar recuperados a estos últimos puede ser considerado un rasgo de humor discutible, pero resulta cómodo para escribir el modelo en la forma más simple posible.

El objetivo del modelo es predecir la evolución temporal de cada una de estas poblaciones, para lo que sus autores recurrieron a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

El objetivo del modelo es predecir la evolución temporal de cada una de estas poblaciones, para lo que sus autores recurrieron a un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Cada una de ellas relaciona la cantidad existente en ese momento de miembros de cada tipo de población, de modo que el número de infectados aumenta por el contacto entre susceptibles e infectados, y disminuye al crecer el número de recuperados. Los parámetros del modelo varían según las características propias de la infección: tasa de contagio, duración del periodo de infección, tamaño de la población, etc.

El estudio de este sistema de ecuaciones permitió identificar un parámetro que ha resultado de gran ayuda para estimar la incidencia de una epidemia. Ese parámetro, que suele representarse con la notación R₀ , tiene un alto valor predictivo . Por debajo de un valor crítico R₀=1, el brote se encuentra en retirada, mientras que si R₀>1 , la enfermedad se está extendiendo. R₀ se define exclusivamente a partir de las propiedades del proceso, y admite una interpretación muy intuitiva: es el número medio de casos secundarios originados por el contagio de una sola persona al comienzo de la enfermedad. Este criterio es de aplicación general, sea cual sea la naturaleza concreta del proceso considerado, y por ello los modelos de contagio de última generación, muy distintos del formulado originalmente por Kermack y Mc Kendrick, siguen haciendo uso de indicadores similares a R_0, incluso manteniendo la misma nomenclatura y pueden utilizarse en situaciones como el reciente brote de coronavirus en China. Existen ya estimaciones del parámetro R₀ para este brote que proporcionan un valor de R₀ superior a 2,24. Eso indicaría que en el momento del estudio la epidemia se estaba extendiendo.

Conviene tener en cuenta que los modelos matemáticos no son suficientes por si solos para valorar el origen y extensión de una epidemia

Conviene tener en cuenta que los modelos matemáticos no son suficientes por si solos para valorar el origen y extensión de una epidemia. Como observa reiteradamente la Organización Mundial de la Salud (OMS), la recogida fiable, y el tratamiento adecuado de datos es fundamental para extraer conclusiones correctas. Entre otras cosas, son esos datos los que permiten estimar los valores que aparecen en la definición del parámetro R_{0 ,} lo que a su vez permite valorar la evolución de un brote infeccioso.

Miguel A. Herrero es catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Complutense de Madrid y Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias de España

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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