Matemáticas, turbulencia y auroras boreales

El comportamiento de los fluidos turbulentos sigue siendo un misterio para los científicos, lo que hace imposible realizar predicciones a largo plazo sobre su evolución. Cuando sobre los fluidos actúa un campo magnético, como es el caso del plasma que se encuentra dentro de los reactores nucleares tokamaks, o del plasma solar, se observan curiosos fenómenos. Un ejemplo llamativo son las inesperadas llamaradas solares, causantes de las auroras boreales que se observan en los Polos terrestres. Para comprender su formación, es necesario entender en profundidad las ecuaciones que describen estos fluidos.

Las denominadas ecuaciones de la magnetohidrodinámica (MHD) determinan la evolución del campo de velocidades del fluido y del campo magnético que actúa sobre él. Se obtienen combinando las ecuaciones clásicas de los fluidos (las de Euler y Navier-Stokes) con las del electromagnetismo (las de Maxwell). Para analizarlas, los físicos y matemáticos estudian las llamadas cantidades integrales conservadas, que en situaciones regulares –es decir, cuando el fluido no presenta comportamientos bruscos– se mantienen constantes (aproximadamente) a lo largo del tiempo. Un ejemplo clásico de cantidad integral es la energía total.

Sin embargo, en algunos problemas de hidrodinámica con presencia de turbulencia, la energía no tiene porqué conservarse. Matemáticamente, en estas situaciones aparecen elementos tan irregulares que no es posible aplicar los métodos habituales (es decir, derivar e integrar) para estudiar las cantidades integrales, sino que es necesario emplear otros enfoques. Así lo conjeturaron en la mitad del siglo XX el matemático Andréi Kolmogorov y Lars Onsager (premio Nobel de Química en 1968).

Recientemente, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr han desarrollado un programa para dar rigor a las ideas de Kolmogorov y Onsager, mediante una técnica llamada integración convexa. Los métodos se han empleado para estudiar las ecuaciones de los fluidos en situaciones turbulentas con éxito, pero aplicar estas ideas a las ecuaciones de la magnetohidrodinámica es más delicado, ya que aparecen otras cantidades integrales conservadas además de la energía, como la helicidad cruzada y la helicidad magnética. La primera mide cómo se entrecruzan las líneas magnéticas y las líneas de flujo del campo de velocidades. La segunda describe el comportamiento topológico de las líneas magnéticas.

Para plasmas turbulentos, las simulaciones y los experimentos apuntaban a que tanto la energía total como la helicidad cruzada se disipan de manera anómala

Para plasmas turbulentos, las simulaciones y los experimentos apuntaban a que tanto la energía total como la helicidad cruzada se disipan de manera anómala. Sin embargo, parece que la helicidad magnética se comporta de un modo distinto: en fluidos muy conductores de la electricidad, se conserva. Esta afirmación fue conjeturada en 1974 por el físico John Bryan Taylor y es la base de su llamada teoría de relajación.

En un reciente artículo, Daniel Faraco –profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), miembro del ICMAT y uno de los autores de este artículo– y Sauli Lindberg –ahora en la Universidad de Helsinki, pero hasta hace unos meses, investigador en la UAM y en el ICMAT– prueban la conjetura de Taylor desde un punto de vista matemático. Es decir, demuestran rigurosamente que la helicidad magnética se conserva aproximadamente. Y precisamente por la conservación de esta propiedad en un régimen tan turbulento como es la actividad solar se producen las llamaradas, que después provocan las auroras.

La helicidad magnética se conserva 'aproximadamente'. Y por la conservación de esta propiedad en un régimen tan turbulento como es la actividad solar se producen las llamaradas, que después provocan las auroras

Hasta la fecha parecía incompatible la obtención de soluciones turbulentas en mecánica de fluidos con la conservación de ninguna cantidad integral, pero gracias a estos nuevos trabajos, se ha visto que no es así. Las soluciones de las ecuaciones MHD tienen muchas estructuras ocultas y su compresión no solo permitirá entender fenómenos físicos, sino desarrollar herramientas matemáticas de enorme complejidad.

Daniel Faraco es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del ICMAT

Ágata Timón García-Longoria es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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