Una original manera de celebrar el día de Pi

Más información

Día de Pi: los algoritmos permiten obtener nuevas cifras de π

Hoy, día 14 de marzo, es el día en el que, en todas las partes del mundo, se homenajea al que es posiblemente el número real más citado en toda la historia de las matemáticas. Hoy, 14 de marzo, es el día de Pi. Y lo es porque, escrito en notación estadounidense, el día de hoy es 3-14, que corresponde con una aproximación de Pi a dos decimales.

Como decimos, esta convocatoria de celebración anual del día de Pi se hace a nivel mundial, y son muchas las actividades que se realizan gracias a ellas: se programan conferencias sobre Pi, se convocan concurso de relatos y audiovisuales con Pi como protagonista, se realizan publicaciones relacionadas con Pi en multitud de redes sociales, se escriben artículos relacionados con Pi (como este), etcétera. Por poner un ejemplo patrio, desde el año pasado en España tenemos la iniciativa Sin Pi no soy nada, impulsada por varias instituciones, que organiza distintos tipos de actividades relacionadas con Pi.

Lo que os voy a contar hoy sobre Pi, este número conocido principalmente por ser la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es una sencilla manera de calcular una aproximación suya en casa y utilizando instrumentos que todos tenemos a mano. Y quizás lo más curioso de la misma es que no tiene nada que ver con circunferencias, que es lo que uno habría esperado sabiendo la relación tan íntima que tiene este número Pi con las cosas redondas. En realidad, el tema va de rectas y probabilidad.

Pero antes vamos con un poquito de historia, que la cuestión que estamos tratando tiene ya un tiempo. Corría el año 1733 cuando el naturalista francés Georges Luis Leclerc, más conocido como conde de Buffon, se plantea el siguiente problema:

“Dibujamos en el suelo (nos valdría cualquier superficie plana) líneas rectas paralelas tal que la distancia entre cada dos consecutivas sea siempre la misma. Ahora, tiramos al azar una aguja en ese suelo. ¿Cuál es la probabilidad de que esa aguja corte a alguna de las líneas?”

Como veis, no aparecen circunferencias por ningún lado, solamente líneas rectas y el cálculo de cierta probabilidad.

El propio Buffon resolvió el problema en 1757, y en dicha resolución se aprecia que el resultado depende de la longitud de la aguja que lanzamos (algo que, por otra parte, parecía evidente). Nosotros nos vamos a quedar con el caso más sencillo: vamos a tirar una aguja que mide lo mismo que la distancia entre dos líneas consecutivas. En la siguiente imagen podéis ver los, esencialmente, dos únicos casos que se nos pueden dar:

Bien, pues en esta situación Buffon demostró que la probabilidad de que esa aguja corte a alguna de las líneas es 2/π. Sí, otra situación en la que el número Pi aparece de manera sorpresiva e inesperada y que, probablemente, ni siquiera el propio Buffon esperaba.

Veamos ahora cómo podemos usar esto para realizar en casa (o con amigos, alumnos…) una actividad de celebración del día de Pi. Tomemos boli, papel, regla y una aguja. Dibujamos unas líneas rectas en el papel distanciadas la misma longitud, como hemos comentado, y comencemos a dejar caer la aguja de manera azarosa.

Tenemos que contar cuántos lanzamientos hacemos, digamos N, y cuántos de ellos cortan a alguna de las líneas, pongamos C. Con estos datos, la probabilidad de que la aguja corte a alguna línea en ese número de lanzamientos se puede calcular dividiendo el número de casos favorables, C, entre el número de casos total, N. Por tanto, esa división será una aproximación de la probabilidad que Buffon nos calculó, por lo que C/N ≈ 2/π. Despejando Pi de ahí tenemos que:

Esto es, en este experimento, llamado aguja de Buffon, podemos calcular una aproximación de Pi multiplicando por 2 el número de lanzamientos y dividiendo después entre el número de cortes obtenidos. ¿No os parece maravilloso?

Pero, por desgracia, no todo es tan bonito como parece. Aunque como actividad es bastante curiosa y puede ser muy interesante, metiéndonos ya un poco más en las matemáticas del método nos encontramos con un gran problema práctico: para encontrar una buena aproximación de Pi mediante el método de la aguja de Buffon tendríamos que realizar una cantidad enoooooorme de lanzamientos (dicho de forma más matemática, la convergencia del método es lentísima).

Si hacéis pruebas en casa, como ya os he sugerido, os daréis cuenta de ello. Pero también podéis verlo en Buffon’s Needle, an analysis and simulation, un simulador de la aguja de Buffon que tienen en la web de la Universidad de Illinois. Ahí podéis realizar tiradas simuladas de aguja y ver qué aproximación obtenemos. Yo acabo de hacer cinco pruebas distintas de 100.000 tiradas cada una y las aproximaciones obtenidas han sido las siguientes (os las redondeo a cuatro decimales):

3.1344, 3.1369, 3.1362, 3.1392, 3.1431

Es decir, solamente en una de ellas obtenemos el segundo decimal exacto, y eso tirando la aguja nada menos que 100.000 veces. Curioso e interesante, pero poco útil matemáticamente hablando, lamentablemente. De todas formas, espero que este pequeño contratiempo no rebaje la euforia que, muy posiblemente, se haya desatado en vuestras mentes después de conocer este maravilloso método de la aguja de Buffon.

Para terminar, un apunte relacionado con la longitud de la aguja. Hemos tratado el caso en el que esta longitud es igual que la distancia entre líneas, pero también podemos considerar otras situaciones.

Supongamos que la aguja mide L y la distancia entre rectas es D. Si la aguja es más corta (es decir, L < D), tenemos que la probabilidad de que la aguja corte a alguna recta es 2L/Dπ; si la aguja es más larga (esto es, L > D), el valor de dicha probabilidad se complica bastante. Quienes estéis interesados en los desarrollos matemáticos que nos calculan todas estas probabilidades podéis encontrar información al respecto en el siguiente pdf: Buffon’s Needle Problem.