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BLOGS Por MIGUEL ÁNGEL MORALES
CONJETURAS

Porque 70 millones “no son nada”

Tras más de dos mil años, la conjetura de los primos gemelos sigue resistiéndose a ser demostrada o refutada

Pizarras con expresiones matemáticas en una clase en Thiès, Senegal. pulsa en la foto
Pizarras con expresiones matemáticas en una clase en Thiès, Senegal.

Los números primos, números que solamente tienen dos divisores distintos (el 1 y el propio número), siguen encerrando multitud de misterios aún fuera del alcance del ser humano, sea matemático o no. Este conjunto numérico, “generador” de todos los números naturales, sigue a día de hoy escondiendo las respuestas a una gran cantidad de preguntas que matemáticos de todas las épocas se han hecho sobre ellos.

Entre todas ellas, hay una muy conocida que a mí particularmente me encanta: ¿existen infinitas parejas de primos gemelos? Dos números primos son primos gemelos si hay una distancia de dos unidades entre ellos. Por ejemplo, 3 y 5 son primos gemelos; 17 y 19 también; y también lo son 521 y 523. Lo que todavía no se sabe es si llega un momento en el que dichas parejas dejan de aparecer, o si por el contrario podemos encontrar parejas de primos de estas características ad infinitum.

Esta conjetura de los primos gemelos lleva en boca y en mente de matemáticos desde hace más de 2000 años, y, como decíamos antes, en la actualidad sigue sin respuesta. Es cierto que hay resultados que refuerzan la idea de que hay infinitas parejas de este tipo, y que la comunidad matemática cree que así es, pero seguimos sin demostración hacia uno u otro lado.

Yitang Zhang pulsa en la foto
Yitang Zhang

Bien, pues hace cinco años, en 2013, el matemático Yitang Zhang presentaba un resultado relacionado con esta conjetura que sorprendió enormemente a matemáticos de uno y otro lado. En su trabajo, Bounded gaps between primes, Zhang demostraba el siguiente resultado:

“Existen infinitas parejas de números primos que están a una distancia menor de 70.000.000.”

Sí, 70 millones, nada más y nada menos.

Cuando un lee esto, la pregunta es casi inmediata: ¿70 millones? ¿Y qué avance es ese? Y lo entiendo. Una distancia de 70 millones de unidades es tan grande para cualquiera que es complicado comprender qué ventaja o beneficio puede tener, pero lo tiene.

Hasta ese momento, no se disponía de un resultado de ese tipo. Es decir, no se sabía si había infinitas parejas de números primos que estuvieran a una distancia menor que un cierto número. Este teorema de Zhang daba un punto de partida: ya sabemos que hay infinitas parejas de primos a distancia menor que 70 millones, afinemos ahora el resultado para intentar llegar a distancia menor que 3 y tendremos demostrada la conjetura de los primos gemelos.

Al parecer, esa “cota” de 70.000.000 era fácilmente mejorable a partir del propio trabajo de Zhang, y multitud de matemáticos de todo el mundo se lanzaron a ello tras la publicación de este trabajo: en unos días se había bajado a 6 millones; más tarde, el genial matemático australiano Terence Tao abrió un polymath (proyecto colaborativo donde matemáticos de todo el mundo trabajan conjuntamente y se comunican online) con el cual la cota se rebajó a menos de 5000; y después, gracias a los avances hechos por James Maynard, se llegó a 700. En unos seis meses se había bajado de 70000000 a 700, un progreso considerable.

El trabajo de Maynard, Small gaps between primes, animó a los participantes del polymath citado antes y propició que dicha cota se bajara hasta 246 (había pasado solamente un año desde los famosos 70 millones)…pero por desgracia ahí nos hemos quedado. Todos los expertos están de acuerdo en que estos trabajos no conseguirán rebajar la cota a 3, por lo que hacen falta ideas nuevas para atacar la conjetura de los primos gemelos. Por tanto, y a pesar del valioso trabajo de Yitang Zhang, la conjetura de los primos gemelos sigue sin respuesta. Fue bonito mientras duró, pero parece que por ahí no podremos avanzar más.

Pero los resultados relacionados con los primos gemelos no acaban ahí, ni mucho menos. A principios del pasado siglo XX, concretamente en 1919, el matemático noruego Viggo Brun demostraba un resultado que, en cierta forma, “choca” con la creencia de la existencia de infinitas parejas de primos gemelos.

Para cada pareja de primos gemelos, Brun consideró la suma de los inversos de los dos números de la pareja. Por ejemplo, para la pareja (3,5), Brun toma 1/3+1/5; para (5,7), tendríamos 1/5+1/7; y así sucesivamente. Después Brun consideró la suma de todos los resultados, suponiendo (como no podía ser de otra forma) que hay infinitas parejas de primos gemelos (para los ya iniciados, puede que esta explicación sea demasiado simple y carente de rigor, pero no he encontrado otra forma mejor de explicarlo a nivel usuario).

Tenemos entonces la siguiente suma infinita:

Suma de los inversos de las parejas de primos gemelos.
Suma de los inversos de las parejas de primos gemelos.

Si pudiéramos calcular el valor de dicha suma y el resultado fuera infinito, la conjetura de los primos gemelos ya estaría demostrada (si el resultado de la suma es infinito, entonces obligatoriamente hay infinitos números involucrados). Pero lo que demostró Brun es que esa suma infinita tiene como resultado un número real, y además bastante pequeño (no llega a 2). Más concretamente, la mejor aproximación de la que disponemos actualmente sobre esta constante de Brun data de 2002, y es la siguiente:

Mejor aproximación actual de la constante de Brun.
Mejor aproximación actual de la constante de Brun.

Un resultado maravilloso este de Brun, que unido a los trabajos de Zhang, Tao, Maynard y compañía seguro que conseguirán que muchos se enamoren de esta conjetura de los primos gemelos (si no lo estaban ya). Lo malo de todo esto es que la conjetura sigue sin solución, por lo que aún estamos sin respuesta; lo bueno, que la conjetura sigue sin solución, por lo que todavía podemos disfrutar con ella.


Para finalizar, un apunte. Es posible que más de uno se haya asombrado al leer que hay sumas de infinitos números cuyo “resultado” no es infinito, sino un número real concreto. Pues sí, las matemáticas son así de maravillosas y nos traen cuestiones tan sorprendentes como esta. Dejaremos para próximos artículos una explicación algo más profunda de este asunto.

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