¿Por qué 3435 es uno de mis números favoritos?

Cuando preguntas a alguien sobre cuál es su número favorito, la respuesta suele ser un número bajo y casi todo el mundo te dice los mismos. Según mi experiencia, el 5 y el 7 suelen repetirse bastante, váyase usted a saber por qué.

Uno de mis números favoritos es el 12, principalmente porque tiene una importante cantidad de divisores para ser un número tan pequeño: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Eso ayuda bastante a la hora de dividir grupos de 12 elementos en partes enteras iguales. Bueno, y porque me gusta, que tampoco tiene que haber una razón. Sí, soy raro, lo sé.

Pero otro de mis números favoritos desde hace tiempo es el 3435. La razón es que este número cumple una propiedad muy interesante que no cumplen muchos otros. Sigue leyendo y verás cuál es esa curiosa característica.

La cuestión va sobre ver qué pasa al calcular potencias de las cifras de los números enteros positivos y sumar resultados. Pero no cualquier potencia, sino algunas que tengan cierta regularidad y además nos den un resultado curioso o interesante.

Se podría jugar con las potencias de las cifras de los enteros positivos de muchas maneras, pero buscamos algo muy concreto: que las potencias tengan algo que ver con el número y que ese juego de potencias nos dé como resultado el número inicial. Veamos algún ejemplo para aclarar un poco esto.

Supongamos que tomamos los números de dos cifras y elevamos cada cifra al número que corresponde con la posición que ocupa (contando de izquierda a derecha) y sumamos. La pregunta es: ¿en algún caso obtenemos el número inicial? Por ejemplo, si tomamos el 32, tendríamos

3¹ + 2² = 3 + 4 = 7

que no es 32. Otro, el 48:

4¹ + 8² = 4 + 64 = 68

que tampoco coincide con el número inicial, que era 48. Uno más, el 17:

1¹ + 7² = 1 + 49 = 50

que, como antes, sigue sin coincidir con el número del que partíamos, el 17.

Bien, ¿hay algún número de dos cifras que cumpla que estas operaciones dan como el resultado el propio número? Sí, el 89 es el único número de dos cifras con esta propiedad:

8¹ + 9² = 8 + 81 = 89

Podéis probar con todos los demás, y veréis que no hay ningún otro. Y también os invito a que juguéis con los de tres cifras (hay cuatro números), con los de cuatro cifras (hay tres números), pero no con los de cinco y los de seis cifras, ya que en este caso no hay ningún resultado. Para los de siete cifras tenemos una única solución, y es el número 2646798:

2¹ + 6² + 4³ + 6⁴ + 7⁵ + 9⁶ + 8⁷ = 2646798

Para ocho cifras, si no me equivoco, no hay ninguno, y para un número mayor de cifras desconozco se hay soluciones. Si alguien sabe algo sobre ello que nos hable sobre el tema en los comentarios.

Pero éste no es el juego de potencias del que quería hablar hoy. Nuestro juego va de elevar un número a sí mismo, cifra a cifra, y obtener el propio número. Vamos a tomar un número de tres cifras, por ejemplo el 243, para ejemplificar el asunto:

2² + 4⁴ + 3³ = 4 + 256 + 27 = 287

Lástima, no coincide con el inicial, el 243. Tomemos ahora uno de cuatro cifras, digamos el 1843:

1¹ + 8⁸ + 4⁴ + 2² = 1 + 16777216 + 256 + 4 = 16777477

Nada, tampoco en este caso, y de hecho nos hemos alejado una barbaridad.

Por cierto, si queréis probar por vuestra cuenta y lo hacéis con algún número que tenga alguna cifra igual a 0, os saldrá un 0⁰. ¿Qué hacemos en ese caso? Pues tomar la definición más adecuada para este número: 0⁰ = 1.

¿Habrá alguno? Pues sí, ya vamos a citar al que, como decía en el título del artículo, es uno de mis números favoritos. Exacto, 3435 cumple la propiedad que acabamos de describir:

3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435

No me diréis que no es chulo el numerito.

Bien, hemos encontrado uno, y podemos encontrar otro muy fácilmente. Correcto, el 1 también cumple esta propiedad:

1¹ = 1

Pero éste es, digamos, muy trivial, nos gustaría encontrar algún otro ejemplo más elaborado que éste. Os invito de nuevo a hacer pruebas con, por empezar por algún sitio, números de dos cifras, siguiendo con los números de tres, y así sucesivamente…

…pero será difícil que encontréis alguno más, ya que, salvo el 1, el 3435 es el único número entero positivo que cumple que al elevar cada cifra a ella misma y sumar nos da como resultado el propio 3435.

Sí, da igual si probáis con números de tres cifras, de cuatro, de cinco o de cuarenta, no hay más números enteros positivos con esta característica. Por eso, el 3435 es uno de mis números favoritos.

¿Cómo puedo ser tan tajante? ¿Acaso hay alguna demostración de este hecho? Sí. ¿Os la voy a contar? No, porque se saldría de la pretensión de este artículo. ¿Os voy a dar algún enlace para que los interesados puedan verla? Claro que sí: On a curious property of 3435, subido a arXiv por Daan van Berkel.

Según parece, el propio Daan van Berkel puso nombre a estos curiosos números: números de Munchausen, inspirado en la historia del barón de Münchhausen. Este personaje histórico sirvió en el ejército ruso y, después de un par de campañas contra los turcos, contó varias hazañas, supuestamente propias, que incluían la de haber salido de una ciénaga tirándose de su propia coleta. Vamos, que se elevó a sí mismo, de ahí el nombre de números de Munchausen.

Y, para finalizar, es interesante remarcar que en todo este artículo hemos considerado números en base 10, pero se podrían tomar otras bases de numeración y buscar números de Munchausen en ellas. Os dejo que indaguéis vosotros mismos y, si queréis, nos contéis vuestros hallazgos en los comentarios.