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BLOGS Por MIGUEL ÁNGEL MORALES
PROBABILIDAD

Desmontando (una vez más) los absurdos sorteos por letra

Se puede decir mil veces que no son justos, pero aun así se siguen haciendo. Volvemos a explicar el porqué

Los vemos en muchos lugares, se suelen usar para determinar un orden de participación o para elegir a los agraciados en un cierto sorteo. Estamos hablando de los sorteos por letra, y en lo que sigue vamos a intentar explicar una vez más por qué estos sorteos deberían dejar de hacerse por ser totalmente injustos.

Me he animado a escribir sobre esto cuando he visto que, de nuevo, el orden de participación en la parte oral de las Oposiciones a Profesor de Enseñanza Secundaria en Castilla-La Mancha se ha vuelto a determinar eligiendo (se entiende que al azar) una letra del abecedario, concretamente la M (aquí tenéis la resolución). Quizá en casos como este el orden no es tan importante (o sí, vaya usted a saber), pero también se usa este método para determinar los ganadores de las entradas a un espectáculo, las familias cuyos hijos podrán ir a cierto colegio o guardería o los agraciados con una vivienda. Casi nada.

La razón por la que estos sorteos deberían desaparecer es muy sencilla: los sorteos por letra no dan la misma probabilidad a todos los participantes, y por lo tanto no son sorteos justos. Se entiende que un sorteo debe ser justo en el sentido de que todos los participantes tengan la misma probabilidad de obtener el “premio”, sea este cual sea, ¿verdad? Pues en los sorteos con letra esto no es así, o al menos no es así en todos los casos.

En algunos casos, un sorteo así podría ser justo, pero antes habría que estudiar si todos los participantes tienen la misma probabilidad de “ganar”, y os aseguro que esto no se hace nunca. Por tanto, encontrar al menos un caso en el que este tipo de sorteos no es justo debería ser razón suficiente para que los sorteos por letra dejen de hacerse.

Vamos a poner un ejemplo en el que veremos claramente lo injusto de este tipo de sorteos, pero antes no está de más aclarar de qué van estos sorteos por letra por si alguien no lo tiene claro.

Para explicarlo, voy a usar primero el ejemplo de las oposiciones. Imaginemos que 200 opositores llegan a la parte oral, que consiste en exponer algo (no nos hace falta especificar) ante un tribunal. Está estipulado que el orden de actuación de dichos opositores será alfabético, pero el opositor que actuará en primer lugar no se elige al azar, sino que se saca una letra al azar y la primera persona cuyo apellido comience con esa letra se convierte en el primero en exponer.

Podría parecer que este sorteo es justo, pero no es así porque no todos los opositores tienen la misma probabilidad de ser elegidos en primer lugar. Como decía antes, puede que en este caso no sea tan importante, pero imaginad que en vez del primer puesto al exponer lo que se sortea en un premio de 10.000 euros. ¿Os gustaría saber desde antes del sorteo que no tenéis ninguna probabilidad de ganarlo? Supongo que no.

Vamos ahora a ver un ejemplo concreto para que la cosa quede más clara. Tomemos los apellidos de, por ejemplo, 16 matemáticos que ya han aparecido por El Aleph: Euler, Fermat, Bohr, Goodstein, Gauss, Banach, Ulam, Van Aubel, Conway, Császár, Pick, Simson, Newton, Cantor, Jordan y Bolyai. Ahora, entre ellos, vamos a sortear un puesto como catedrático de la universidad más prestigiosa del mundo, y lo vamos a hacer mediante un sorteo por letra: metemos en una bolsa 27 bolitas con las 27 letras del abecedario, sacamos una y el primero cuyo apellido empiece por esa letra se lleva la cátedra. Si no hay nadie cuyo apellido comience con la letra que salga, pasamos a la letra siguiente del abecedario, y así sucesivamente.

Echando un vistazo por encima a los apellidos, podemos sacar interesantes conclusiones. Por ejemplo, Bohr y Bolyai se pueden olvidar del premio ya que no tienen ninguna posibilidad de salir elegidos. Repito, ninguna. Y no tienen ninguna porque Banach está delante de ellos alfabéticamente, y aunque salga la B ellos no podrán recibir esa ansiada cátedra

Por otra parte, Fermat se la llevaría si sale la F, pero solamente en ese caso; sin embargo, Banach obtendría el premio si sale la B... Y también si sale la W, o la X, o la Y, o la Z o la A. Por tanto, Banach tiene muchas más opciones que, por ejemplo, Fermat. ¿Os parece justo?

Para calcular la probabilidad de cada uno de ellos, simplemente habría que dividir el número de casos favorables (el número de letras con las que se gana) entre el número de casos posible (27, las letras que se usan para el sorteo). Os dejo a continuación una tabla con los porcentajes de victoria que tendría cada uno de nuestros protagonistas en este sorteo por letra ficticio:

Porcentajes que tienen nuestros matemáticos participantes de ganar la cátedra que se sortea
Porcentajes que tienen nuestros matemáticos participantes de ganar la cátedra que se sortea

Como ya habíamos comentado, y como se puede ver en la tabla, no todos tienen la misma probabilidad de salir premiados, por lo que el sorteo es a todas luces injusto.

Imaginemos ahora que en vez de una cátedra se sortean dos. En este caso, algunos que antes no podían ganar ahora sí que tienen una probabilidad positiva de ello, pero sigue habiendo valores desiguales en las probabilidades y gente que sigue sin tener ninguna opción, como el pobre Janos Bolyai (que en el mejor de los casos, que salga la B, sigue teniendo por delante a Banach y a Bohr). Y da igual el número de premios que demos, el sorteo sigue siendo injusto.

En algunos lugares razonan de la siguiente forma: “vale, con una letra la cosa no es justa…Saquemos dos letras y asunto arreglado”. Nada de asunto arreglado, estamos en las mismas: el sorteo sigue siendo injusto. Volviendo a nuestro ejemplo anterior, Bohr se llevaría la cátedra si salieran BB, BC, BD, BE, BF,…, BO (15 casos), mientras que Fermat, por citar uno, se la llevaría si salen EV, EW, EX, EY, EZ, FA, FB, FC, FD o FE (10 casos)…¡Y Bolyai seguiría teniendo probabilidad cero de ganar! Así que lo dicho, sacar una letra más no arregla nada…

…Ni dos letras más, ni sacar del primer apellido y del segundo, ni del apellido de nuestro abuelo por parte de madre, ni del de nuestra tía la soltera que está forrada. Mientras los apellidos de los participantes no sean equiprobables en relación con las letras que sacamos, todos los sorteos por letra son injustos. Punto final.

Y por si todavía hay alguien que no se haya convencido de ello, vamos a tirar de pasta, de dineros, que así seguro que nos queda más claro. Imaginad que en el próximo sorteo de Lotería de Navidad meten la bola de 65535 siete veces, la del 87654 la dejan fuera del bombo y de los demás números meten una bola por cada uno. ¿Compraría alguien un boleto con el número 87654? ¿Compraríais algún otro que no fuera el 65535? ¿Pagaríais igual por un boleto de ese número que por uno del, por ejemplo, 12345? Seguro que no, ya que en esta situación no todos los números tienen la misma probabilidad de salir. ¿Ha quedado ahora más claro? Espero que sí.


Con lo fácil que es asignar un número a cada uno de los participantes y sacar al azar uno de los números asignados, no sé por qué se sigue usando este método totalmente injusto. Y, relacionado con esto, dejo una pregunta para finalizar este artículo. Ahí va:

Imaginemos que asignamos un número a los, digamos, 100 participantes en un sorteo y que hay dos premios iguales, digamos de 1.000 euros cada uno. Procedemos de la siguiente forma:

Asignamos a los participantes los números del 1 al 100 de forma aleatoria, y después, también aleatoriamente, sacamos una bola y le damos el premio a quien tenga el número de dicha bola y al que tenga el número siguiente (si sale el 100, se le da al 100 y al 1). En este caso, ¿tendrían todos la misma probabilidad de salir agraciados con 1.000 euros? ¿O la forma correcta sería sacar una bola, dar el premio, dejar dicha bola fuera de la bolsa y sacar otra bola para entregar el siguiente premio?

Contadnos lo que pensáis sobre todo esto en los comentarios.