Puntos notables

Los puntos notables del triángulo, de los que hablábamos la semana pasada, han suscitado, valga la redundancia, un notable interés entre mis amables lectores, lo que me anima a seguir abundando en el tema. Es fácil demostrar que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto.

Dado un triángulo ABC, todos los puntos de la mediatriz del lado AB equidistan de A y de B, y todos los puntos de la mediatriz del lado AC equidistan de A y de C; por lo tanto, el punto de intersección de ambas mediatrices también equidista de B y de C, por lo que la mediatriz de BC ha de pasar por él. Y como ese punto equidista de los tres vértices del triángulo, es el centro de la circunferencia que pasa por ellos, o sea, el circuncentro.

La demostración de que las bisectrices concurren en un punto es análoga: todos los puntos de la bisectriz del ángulo A equidistan de los lados AB y AC; todos los puntos de la bisectriz del ángulo B equidistan de los lados AB y BC; luego el punto de intersección de ambas bisectrices equidistará también de los lados AC y BC, y, por tanto, la bisectriz del ángulo C pasará por él. Y como ese punto equidista de los tres lados del triángulo, es el centro de la circunferencia tangente a los tres, o sea, el incentro.

La demostración de que las medianas concurren en un punto no es tan sencilla. Me ha parecido interesante la propuesta recursiva de Bretos Bursó: “Sea T0 el triángulo inicial. Los puntos medios de cada lado son los vértices de un triángulo T1 semejante a T0 por el teorema de Tales y, por el mismo teorema, cada mediana de T0 contiene a una mediana de T1. Se puede iterar indefinidamente considerando una sucesión de triángulos semejantes Tn decreciente por contenido —ahora llamo triángulo, en cada caso, al compacto que incluye el interior—. En todos los triángulos las medianas son segmentos de las iniciales; y, por el teorema de Cantor, la intersección de todos ellos es un conjunto unipuntual cuyo elemento debe estar en las tres medianas. Ese punto es el baricentro”.

Y, como dice Manuel Amorós: “Una forma física de determinar el baricentro de un triángulo podría consistir en colgar un hilo con un peso. En un punto de dicho hilo colgamos la lámina del triángulo por uno de sus vértices. El hilo que atraviesa la lámina marcará una mediana. Realizamos el mismo procedimiento colgando de otro vértice, y obtenemos dos medianas, cuyo cruce será el baricentro”. Y el procedimiento también vale para un pentágono o cualquier otra figura.

En cuanto al ortocentro, para demostrar que las alturas de un triángulo concurren en un punto, Euclides trazó por cada vértice una recta paralela al lado opuesto. Las tres rectas, al cortarse, forman un triángulo cuyas mediatrices son las alturas del triángulo inicial, y como ya hemos demostrado que las mediatrices concurren en un punto…

La circunferencia de Feuerbach

Una comentarista recién incorporada, María Beatriz Collado, dice: “Me encanta leer en un artículo de prensa sobre los puntos esenciales de un triángulo. ¿Nos hablarás después de esto de la circunferencia de los 9 puntos, que es lo más maravilloso que yo he conocido en geometría?”.

Pues sí, es un tema maravilloso al que dedicaré una próxima entrega. Puesto que se acaba el espacio-tiempo de esta, solo puedo enunciarlo (y anunciarlo):

La circunferencia de los 9 puntos es la que, en un triángulo cualquiera, pasa por los puntos medios de los tres lados, los pies de las tres alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo. Se la conoce también como circunferencia de Feuerbach. Pero, como ya he dicho, ese será otro artículo.