Billar dinámico

Con respecto al problema del billar circular planteado la semana pasada, nuestro comentarista habitual Manuel Amorós aporta la siguiente solución:

“Consideremos dos bolas A y B situadas en el diámetro de una mesa circular de radio R. Las bolas están situadas a ambos lados del centro C (si están al mismo lado solo existe la solución trivial de tirar en la dirección del diámetro). La bola A está a la distancia a del centro y la bola B a la distancia b del centro.

Sea P el punto donde la bola A debe golpear en la mesa. Llamando α al ángulo que forma CP con el diámetro:

cos α = R(b-a)/(2ab)

El problema solo tiene solución no trivial cuando dicho coseno está entre -1 y 1″.

En el caso de las bolas situadas sobre un diámetro y a ambos lados del centro de la mesa, no es difícil hallar la solución gráficamente con regla y compás (invito a mis sagaces lectoras/es a buscarla). Pero si las bolas de billar (o el foco de luz y el objeto a iluminar en el espejo circular) no están sobre un mismo diámetro, o sea, en el problema de Alhacén no simplificado, la construcción con regla y compás no es posible, y al intentar resolverlo por la vía algebraica nos encontramos con una ecuación de cuarto grado. Y no solo es difícil resolver dicha ecuación, sino incluso formularla, en contraste con la aparente sencillez gráfica del problema. Tan es así que, a finales del siglo XV, y tras buscar en vano una solución matemática del problema de Alhacén, Leonardo da Vinci propuso una solución mecánica mediante un ingenioso pantógrafo diseñado ad hoc. Una solución algebraica no fue hallada hasta 1997, por el matemático británico Peter M. Neumann.

El estadio de Bunimóvich y el billar de Sinái

Puesto que las últimas semanas hemos hablado del billar rectangular convencional y del billar circular (menos convencional pero que también existe físicamente), es inexcusable hablar de la suma de ambos: el billar de Bunimóvich, ideado por el matemático y físico ruso-estadounidense Leonid Bunimóvich, conocido por sus importantes contribuciones al estudio de los sistemas dinámicos, que es un rectángulo limitado por semicírculos en dos lados opuestos (por su forma, también se conoce como estadio de Bunimóvich). No se trata de un billar físico, sino ideal, y las “bolas” son partículas puntuales con movimiento rectilíneo y uniforme que al chocar con el contorno se reflejan especularmente sin pérdida de energía (choque elástico), es decir, manteniendo siempre la misma velocidad. Es el más conocido de los “billares dinámicos”, que son idealizaciones del juego de billar con distintos contornos y eventuales obstáculos internos. Su propósito es modelizar diversos tipos de movimientos de partículas y estudiar los sistemas hamiltonianos (pero ese es otro artículo).

Otro famoso billar dinámico es el ideado por Yákov Sinái, uno de los más grandes matemáticos vivos (también ruso-estadounidense, como Bunimóvich): es un cuadrado con un círculo en su interior, en el que también rebotan especularmente las partículas, y sirve entre otras cosas, para modelizar el comportamiento de un gas ideal.

¿Puedes determinar en qué punto del perímetro cuadrado impactará la partícula de la figura tras chocar por cuarta vez con el círculo central del billar de Sinái? Más difícil todavía: ¿En qué punto del círculo chocará por quinta vez? El lado del cuadrado mide 29 cm, el diámetro del círculo central mide 14 cm y los números en azul indican las medidas de los segmentos correspondientes.

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