Coincidencias y probabilidades

Nos preguntábamos la semana pasada si el hecho de que entre los nueve primeros decimales del número e = 2,718281828… aparezca repetido el grupo 1828 tiene alguna explicación, y la respuesta es no: al igual que π, e es un número trascendente, es decir, un irracional que no es solución de ninguna ecuación algebraica, y cuyos infinitos decimales no siguen pauta alguna.

Sin embargo, sí que hay una explicación para el hecho de que la raíz cuadrada de 0,999 sea 0,9994 y la de 0,9999999 sea 0,99999994. No voy a dar la demostración completa, pero sí una buena pista: 0,999 = 1 – 0,001, y 0,9999999 = 1 – 0,0000001.

En la misma línea (aunque no lo parezca), otra “coincidencia” que tal vez no lo sea: cuatro es un cuadrado perfecto, y el siguiente cuadrado perfecto es nueve; si ponemos ambos dígitos uno a continuación de otro obtenemos 49, que también es un cuadrado perfecto. ¿Coincidencia?

El mayor número que no puede expresarse de la forma 23x + 28y, siendo x e y enteros y positivos, es 593. Dejo la demostración a mis sagaces lectoras/es, así como la generalización si en vez de partir de la pareja 23 y 28 partimos de dos enteros positivos cualesquiera, a y b. Porque, dicho sea de paso, los números escogidos por Fliess no tienen nada de especial: cualquier pareja serviría para obtener los “sorprendentes” resultados que obtenía él con su fórmula. Que alguien de la talla intelectual de Freud cayera en esa burda trampa numerológica da la medida de lo difundido que está el anaritmetismo incluso entre personas inteligentes e instruidas.

Es probable que ocurra algo improbable

Para tener la sensación de que se ha producido una curiosa (o extraña, asombrosa, increíble…) coincidencia, hemos de pensar que el suceso sorprendente es poco probable. Y es fácil equivocarse al valorar la probabilidad de que algo suceda.

Un truco matemágico muy conocido, pero por eso mismo de obligada mención, para amenizar una reunión numerosa (pongamos de 30 personas) consiste en poner cara de vidente y anunciar que se ha percibido una insólita coincidencia: hay dos personas en la reunión que celebran su cumpleaños el mismo día. La percepción subjetiva es la de que esta probabilidad es muy baja, ya que la probabilidad de que alguien escogido al azar cumpla años el mismo día que tú es de 1/365 (algo menor si tenemos en cuenta a los nacidos el 29 de febrero). Sin embargo, la probabilidad de que entre 30 personas haya al menos dos con la misma fecha de cumpleaños es bastante alta (¿puedes calcularla?).

Si no hay ninguna coincidencia en el grupo, casi seguro que hay al menos dos personas cuyas fechas de cumpleaños están muy próximas, por lo que puedes alegar que al captar con tu percepción mental dos fechas tan cercanas has pensado por un momento que eran la misma. Naturalmente, y a no ser que seas un embaucador, luego tienes que explicar el fundamento probabilístico del truco, con lo que contribuirás a combatir el anaritmetismo reinante.

En la misma línea, he aquí un experimento que puedes realizar fácilmente con una baraja. Supongamos que es una baraja española de 40 cartas. Si vas poniendo las cartas sobre la mesa boca arriba a medida que las nombras por orden: as de oros, dos de oros, tres de oros…, la probabilidad de que una carta concreta, por ejemplo, el siete de copas, aparezca en el momento de nombrarla es de 1 entre 40, muy baja. Pero la probabilidad de que una carta cualquiera aparezca en el momento de nombrarla es bastante alta (¿puedes calcularla?) y, sin embargo, sigue sorprendiendo a mucha gente, porque tendemos a pensar en la carta de la coincidencia como esa carta concreta y no una carta cualquiera. Algo parecido ocurre con la lotería: el ganador siente que ha ocurrido algo excepcional, casi inverosímil. Y, sin embargo, era seguro que el premio le iba a corresponder a alguien.

Y es que, como decía Aristóteles, continuamente suceden tantas cosas que es sumamente probable que sucedan cosas sumamente improbables.

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