Cómo mi padre ganó 14 primeros premios de lotería usando matemáticas

En España, una de las señales más reconocibles de la llegada de las fiestas navideñas (desde 1812) es la Lotería de Navidad. Solo en este país las largas colas en cada quiosco de lotería, repletas de jugadores que buscan la oportunidad de ganar hasta 4.000.000 de euros, presagian la temporada navideña. A mí, esta fiebre de lotería me inspira cierta nostalgia infantil, ya que uno de los negocios de mi padre ha sido jugar a las loterías. Aunque se sabe perfectamente que las loterías son una mala apuesta, ya que su esperanza matemática es negativa, Stefan Mandel y su sindicato de lotería ganaron un total de 14 primeros premios en el transcurso de varios años.

La esperanza (o valor esperado) es simplemente el promedio de todos los posibles valores de ganancias y pérdidas, ponderados según su probabilidad. Por ejemplo, en una lotería en la que las participaciones cuestan 2 euros y hay, únicamente, un primer premio de 4.000.000 euros y un segundo de 1.000.000 euros, la esperanza al comprar un billete es 3.999.998 × probabilidad de ganar el 1.er premio + 999.998 × probabilidad de ganar el 2.º premio − 2× probabilidad de no recibir ningún premio. En general, las probabilidades de ganar un premio son muy pequeñas y las de no recibir ninguno, prácticamente 1, por lo que el valor esperado es muy cercano a −2. Sin embargo, bajo ciertas condiciones específicas, la esperanza puede ser más favorable.

Esto sucede, por ejemplo, si los premios son lo suficientemente grandes. En muchas loterías (aunque no en El Gordo), cuando no hay ganadores, el primer premio se acumula en el siguiente sorteo. Si esto sucede varias veces seguidas, el primer premio puede crecer tanto que la esperanza sea positiva. Si se espera hasta que sea lo suficientemente grande y, entonces, se adquieren todas las combinaciones posibles de números, la ganancia está asegurada, siempre que el total de ganadores esté por debajo de un cierto umbral. Eso es lo que hizo el sindicato de mi padre en varias ocasiones (la más famosa, en Virginia, EE UU, así como en algunas loterías australianas). Con este enfoque, los principales desafíos son logísticos: se deben obtener, completar (mediante un proceso automatizado) y cobrar millones de boletos, utilizando cientos de puntos de venta diferentes (ya que ningún quiosco puede dispensar tantos), todo en un pequeño periodo de tiempo.

Hay otras estrategias menos desalentadoras desde el punto de vista práctico y más interesantes desde el punto de vista matemático. Supongamos que queremos jugar a una lotería en la que se extraen seis números de un total de 40, y en la que los billetes que tienen cinco números de los seis ganadores obtienen un segundo premio. Si se compran los billetes que tengan todas las posibles combinaciones de cinco números, en lugar de seis, está garantizada la ganancia de todos los segundos premios.

Para hacer esto de manera eficiente, necesitamos una estructura matemática llamada “diseño recubridor”; en nuestro caso, sería un recubrimiento (40, 6, 5). Esta es una colección C de subconjuntos de seis elementos de un conjunto V de 40 elementos, de modo que cualquier subconjunto de cinco elementos de V es un subconjunto de un elemento de C. Estos conceptos se definen, en general, para cualquier otro valor de los parámetros.

Un diseño recubridor “bueno” debe ser lo más pequeño posible, y uno “perfecto” (en el que cada subconjunto de cinco elementos está contenido exactamente en un conjunto de C) se denomina sistema de Steiner. Este no siempre existe, y, si existe, generalmente es difícil de encontrarlo. El tamaño de un recubrimiento mínimo se llama número de recubrimiento. En las décadas de 1960 y 1970, los matemáticos establecieron límites inferiores y superiores para este valor, dependientes de los parámetros. Para el recubrimiento (40, 6, 5), estos límites establecen que necesitamos al menos 109 674 participaciones y como máximo 306 166. En consecuencia, no es posible obtener un sistema Steiner –ya que con un simple cálculo sabemos que este tendría 109 668 elementos–.

Supongamos que hemos encontrado uno bastante bueno cuyo tamaño está entre los dos límites: 200.000. Al jugar los 200.000 boletos correspondientes, estos cubren todas las 658 008 combinaciones posibles de cinco números y tenemos la garantía de ganar seis segundos premios y muchos otros premios menores. Por otro lado, hay colecciones de 200 000 billetes que incluyen menos del 10% de las combinaciones de cinco números, por lo que la esperanza aumenta significativamente al usar el diseño recubridor. Sin embargo, no crece lo suficiente para que esta sea positiva.

Cuando era adolescente en Rumania, mi padre quedó fascinando con los diseños recubridores y desarrolló algoritmos para construirlos. Al principio, lo hizo movido por pura curiosidad matemática —los diseños recubridores son objetos fascinantes, con conexiones con la geometría proyectiva finita y con la teoría de grupos— aunque poco tiempo después encontró una aplicación práctica. Además, se dio cuenta de que la clave para que funcionara la estrategia de diseños recubridores era combinarla con la primera que hemos explicado.

Así, mi padre y sus socios esperaron hasta que el premio mayor fuera lo suficientemente grande como para que la esperanza al emplear su diseño recubridor (ya incrementada) estuviera por encima de cierto valor positivo. Al repetir esto suficientes veces —jugando siempre con el mismo diseño recubridor—, sabían que era muy probable que ganaran el primer premio. Además, sabían exactamente cuánto recuperarían de las pérdidas con los segundos premios que tenían garantizados cuando no ganaran el premio mayor. Así fue como mi padre ganó su primera lotería en Rumania.

Pero ninguna de estas estrategias es aplicable a El Gordo. En primer lugar, en la Lotería de Navidad se escogen números individuales, del 0 al 99 999, para cada premio, por lo que los diseños recubridores no se pueden aplicar y, además, en caso de que nadie tuviera el número premiado, la ganancia la recibe Hacienda, no se acumula para el siguiente año. Pese a ello, estoy pensando en comprar un boleto. Aunque no heredé el entusiasmo por las loterías de mi padre, sí su fascinación por la belleza de las matemáticas, que finalmente se convirtieron en mi carrera. Como agradecimiento, una participación de El Gordo (que será la primera para él) puede ser un buen regalo de Navidad.

Richard Mandel es investigador posdoctoral en la Universidad del País Vasco

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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