Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad: un cambio a tiempo... merece la pena

Ya hay solución para el desafío matemático con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad que, un año más, ha propuesto Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

Recordemos brevemente en qué consistía el desafío. Le presento diez décimos de lotería, uno con cada terminación. Descarto el que tiene terminación coincidente con la del número que juega usted y a continuación, sabiendo yo, pero no usted, cuál ha sido el Gordo, descarto también cinco décimos cuya terminación no coincide con la del Gordo. Por último, le ofrezco cambiar su décimo por uno de los cuatro décimos restantes, el que quiera. El desafío era decidir si, desde el punto de vista exclusivamente de tener mayor probabilidad de ganar el reintegro, es ventajoso o no aceptar mi oferta y cambiar de número.

La respuesta es que interesa cambiar de número porque, haciéndolo, la probabilidad de obtener un reintegro pasa del 10% al 22,5%, más del doble.

El motivo es el siguiente. Todas y cada una de las terminaciones tienen la misma probabilidad, el 10%, de coincidir con la del Gordo. Por tanto, si usted no acepta el cambio que le ofrezco tendrá un 10% de posibilidades de obtener el reintegro y un 90% de que no sea así (si el Gordo acaba en cualquier terminación que no sea la suya). ¿Qué pasa si acepta mi oferta? Pues que con la misma probabilidad de antes, el 10%, su terminación sería la del Gordo y usted se equivocaría al cambiar. Pero con probabilidad 90% el Gordo habrá acabado en una de las nueve terminaciones que no son la suya y, además, como yo he desvelado que no han sido cinco de ellas (esta información adicional es esencial), concluimos que, con esa probabilidad del 90%, el reintegro habrá correspondido a una de las otras cuatro. No hay diferencia entre estas, de modo que la que usted, cambiando, elija, será la agraciada con probabilidad 90/4=22,5%, como habíamos dicho.

Obsérvese que no estamos diciendo que haya terminaciones que tienen más probabilidad que otras de coincidir con la del Gordo, sino que es la información adicional la que crea la asimetría. Quizás se vea mejor si modificamos el juego y, en vez de descartar cinco de las terminaciones que no son la suya, descartamos ocho. En ese caso, si la terminación agraciada no es la suya (digamos el 0), yo estoy obligado a retirar los ocho décimos cuya terminación no coincide con la del Gordo. Es decir, no cambiando usted “apuesta” a que el reintegro ha caído en el 0, mientras que, cambiando, apuesta, ¡en un solo movimiento!, por nueve posibilidades: que el reintegro corresponde al 1 y yo retiro las terminaciones del 2 al 9; que corresponde al 2 y yo retiro el 1 y las terminaciones del 3 al 9; que el Gordo ha acabado en 3 y yo retiro el 1, el 2 y del 4 al 9; etc. En resumen, no cambiando apuesta por un suceso que tiene probabilidad 10% mientras que, cambiando, apuesta simultáneamente por nueve sucesos que, entre todos (que es lo que nos importa, tienen probabilidad 90%.

Por otro lado, si yo retirase los cinco décimos adicionales (además del que tiene terminación coincidente con la suya) sin saber en qué ha acabado el Gordo, aquel cuya terminación haya obtenido el reintegro podría perfectamente estar entre los retirados. En ese caso, los diez décimos (los que le ofrezco para cambiar y los que no) tendrían la misma probabilidad (10%) de ser el agraciado, y usted no ganaría nada cambiando. Sin el conocimiento adicional que proporciona el saber que los cinco décimos que retiro no tienen reintegro, se recupera la simetría.

Se han recibido en el plazo marcado más de 240 soluciones, el 60% de ellas correctas. No hay grandes variaciones en el argumento, pero sí en la forma de explicarlo (debo reconocer que casi todos los lectores han sido más escuetos que yo, sin perder la claridad). Van desde quienes, como Elba P. V., Aitor H. o las alumnas de 6º de Primaria del Colegio de Fomento Montealto de Madrid, lo presentan en lenguaje cotidiano (sin fórmulas), hasta quienes aprovechan toda la potencia de la probabilidad condicionada (por ejemplo, Enrique Jesús M. S.), pasando por el uso de diversos diagramas (Carlos C. o Javier F., entre otros). No puedo dejar de mencionar el detallado análisis del desafío y sus generalizaciones que ha hecho la clase de 3º de ESO B del IES Duque de Rivas de Rivas Vaciamadrid (Madrid).

Entre las soluciones que no podemos considerar correctas, el error más frecuente ha sido decir que, cambiando, la probabilidad de obtener el reintegro sube al 20%. En unos casos se utiliza la fórmula casos favorables/casos posibles=1/5, sin caer en la cuenta de que los cinco casos no tienen la misma probabilidad (la de nuestro décimo inicial sigue siendo el 10%) y por tanto esta fórmula tan sencilla no es válida. En otros, se hace notar ese 10%, y se atribuye un 20% a cada una de las otras cuatro opciones, pero entonces la suma de las probabilidades no sería el 100%.

Varios lectores han hecho referencia a que el desafío es una versión “lotera” del Problema de Monty Hall, que ya ha sido tratado en este diario. Uno de ellos ha sido José María C. quién, además, nos dice que para aclararlo, a él le gusta plantearlo con 10 puertas, de las que se abren 8. ¡Prometo que no he copiado su idea!

También hay quien nos ha indicado, como Eduardo F. C., que el juego sale al principio de la película 21 Black Jack.

Y no podemos olvidar a quienes, tras resolver perfectamente el desafío, han hecho comentarios “psicológicos”, como Juan Carlos C. o Marco Antonio O. G., quienes sugieren que, ante una oferta así, la mayoría de las personas pensarían que seguro que sé que su número es el agraciado (¡no se fían de mí!), y no lo cambiarían. O Laura G., que nos dice que ella juega con la esperanza de un premio mayor, y que se queda con su número. No sé si es psicológico o más bien sociológico, pero Rein G. y María José R. confiesan que “el desafío nos ha dado para un fin de semana completo de discusiones acaloradas, incluso en colas de supermercados”.

Como ya es tradición, tres de los autores de soluciones válidas, Guillermo C., José Luis P. y Mari G., recibirán, por cortesía de la RSME, sendos ejemplares del libro ¡Resuélvelo! retos lúdicos para curiosos de las matemáticas, de James S. Tanton, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Confío en que hayan disfrutado con el desafío y agradezco los mensajes enviados junto a las soluciones, que son un incentivo para seguir proponiendo desafíos matemáticos. En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, les deseo felices fiestas, suerte mañana con la lotería y, sobre todo, salud.

- Widget: Los resultados del sorteo, en tu móvil y en tu web