Desafío matemático de la Lotería de Navidad: ¿Se queda su décimo o me lo cambia?

EL PAÍS propone un año más a sus lectores un desafío matemático con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad del 22 de diciembre, presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Puede enviar su respuesta hasta las 00.00 del miércoles 21 de diciembre (la medianoche del martes al miércoles, hora peninsular española) al correo problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo día 21 publicaremos la respuesta. (Agradecemos a los lectores que ya habían contestado en los comentarios, pero los hemos cerrado para evitar dar pistas sobre la solución).

Aunque quienes juegan a la lotería lo hacen con la ilusión de ganar el Gordo, en el fondo la mayoría nos damos con un canto en los dientes si nos toca el reintegro y no perdemos dinero. El desafío de este año propone un juego que enreda con la probabilidad de que, jugando un solo décimo, nos corresponda el reintegro (recordemos que eso sucede si nuestro número acaba en la misma cifra que el Gordo). El juego es el siguiente.

Usted se compromete a no seguir el sorteo. Yo sí que lo sigo. Después de que haya salido el Gordo, voy a su encuentro con 10 décimos, uno con cada terminación (del 0 al 9). Le pregunto en qué cifra termina su número y descarto el décimo de los que he traído que tiene esa terminación. A continuación, elijo otros cinco de esos décimos y le digo: “La terminación del Gordo no coincide con la de ninguno de estos cinco décimos, así que los descartamos también”. Me quedo, por tanto, con cuatro de los 10 décimos que tenía inicialmente, y entonces le hago la siguiente propuesta: “Le cambio su décimo por uno de estos cuatro, el que usted quiera”.

Este es el juego, y el desafío consiste en decidir si, solo desde el punto de vista de tener mayor probabilidad de ganar el reintegro, es ventajoso para usted aceptar mi oferta y cambiar de número; si, por el contrario, le perjudica cambiar su número por uno de los cuatro que yo le ofrezco; o si en realidad es indiferente, y sus probabilidades de obtener el reintegro son las mismas cambiando o no.

Lo que pedimos a los lectores es que nos digan cuál de las tres es la respuesta correcta y que expliquen el porqué. Idealmente, esto se hará indicando cuál es la probabilidad de que gane el reintegro si se queda con su número original, y cuál si lo cambia por uno de los cuatro números que le ofrezco.

Una observación importante: ni usted ni yo hacemos trampas. Es decir, usted no sabe en qué cifra ha terminado el Gordo y yo, que sí lo sé, retiro cinco décimos que realmente no tienen reintegro (además del que tiene terminación coincidente con la de su número).

Aceptaremos como válidas todas las respuestas que den un argumento coherente y convincente. No pedimos que la solución esté escrita con jerga matemática, lo que nos interesa es que la explicación sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos sus soluciones.

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