Coches, cabras y probabilidad

A finales del pasado mes de septiembre falleció Monty Hall, presentador (y uno de los creadores) de Let’s Make a Deal, famoso concurso de la NBC que comenzó a emitirse en 1963 y estuvo en antena durante cuatro décadas.

Quien más quien menos sabrá ya de qué vamos a hablar hoy, pero puede ser que haya gente que no tenga claro por qué comenzamos un artículo de matemáticas hablando del presentador de un concurso. Pues la razón es bien sencilla: una de las pruebas del concurso sirvió de inspiración para crear la que, posiblemente, es la cuestión sobre probabilidad más comentada, analizada y controvertida de la historia (al menos de la historia reciente): el problema de Monty Hall.

Según parece, el problema fue propuesto por primera vez por Martin Gardner en la famosísima columna que escribía en Scientific American, pero alcanzó altas cotas de popularidad cuando, en 1990, fue propuesto por Marilyn Vos Savant en una columna que escribía en Parade Magazine. Sin más preámbulos, vamos con el planteamiento del mismo:

Supongamos que estás en un concurso en el que tienes que elegir una puerta de entre tres opciones. Sabes que en una de ellas hay un coche y que en las otras dos hay sendas cabras, y obviamente tu objetivo es conseguir ese coche.

Eliges una de las puertas y, justo después, el presentador (que sabe desde el principio lo que había detrás de cada una de ellas) abre una de las que no elegiste y muestra que detrás de ella había una cabra. A continuación, te plantea que puedes quedarte con la puerta que elegiste al principio o que puedes cambiarla por la que aún queda cerrada.

La pregunta es la siguiente: en términos de probabilidad, ¿te interesa quedarte con tu puerta o, por el contrario, te interesa cambiarla por la otra?

Buscamos, por tanto, la opción que nos da mayor probabilidad de conseguir el coche según las condiciones planteadas. ¿Cuál pensáis que es la mejor opción? ¿Por qué?

Bueno, antes de plantearse esto quizás habría que pensar si en realidad hay una mejor opción. Cuando nos abren una de las puertas y vemos que hay una cabra, nos quedan dos puertas detrás de las cuales habrá una cabra y un coche. Dos puertas, dos opciones: o me quedo la mía o elijo la otra. Tiene pinta de ser una cuestión 50-50.

Hemos dicho que Marilyn Vos Savant propuso el problema, con la solución, en su columna. A partir de la publicación del mismo, Marilyn recibió multitud de respuestas de los lectores, algunos de ellos matemáticos, que básicamente la pusieron verde: que estaba equivocada, que la probabilidad de cada puerta era 1/2, que se leyera algún libro de probabilidad, que bastante incultura matemática había ya en el país como para que ella contribuyera a ello…¡¡hasta le dijeron: “tú eres la cabra”!!

Pero la cuestión es que Marilyn Vos Savant tenía razón, su solución era la correcta. Y vamos a verla ahora mismo.

En realidad sí que hay una mejor opción, una opción que te da mayor probabilidad de conseguir el coche: la opción más aconsejable es cambiar de puerta. Pensé en no escribir la solución, en dejar que se hablara el tema en los comentarios, pero al final he decidido incluir la explicación del mismo para ver si, de una vez por todas, conseguimos que este problema quede claro.

Partimos de tres puertas en las que podemos encontrar dos cabras y un coche. Eligiendo al azar, que es como elegiríamos en un principio, la probabilidad de escoger la puerta del coche es 1/3 (1 coche y 3 puertas). Esta probabilidad no cambia cuando el presentador abre una de las puertas, por lo que cuando esto ocurre tú sigues teniendo probabilidad 1/3 de haber escogido el coche, por lo que la probabilidad de que el coche esté en la que queda cerrada es 1-1/3=2/3. Caso cerrado.

¿Te has convencido ya? Por si acaso no es así, vamos a explicarlo de otra forma. En la siguiente imagen tenéis una posible colocación inicial de los objetos detrás de las puertas (podéis probar con las otras opciones y veréis que da igual) junto con el desenlace si eligierais cualquiera de las puertas (podéis ampliar la imagen haciendo click en ella):

Como podéis ver, de los tres posibles casos que se pueden presentar, en dos de ellos te interesa cambiar y en el otro te interesa no cambiar. Por tanto, la probabilidad de llevarte el coche si cambias es 2/3 y la de llevártelo si no cambias es 1/3. Vamos, que te interesa cambiar de puerta.

Supongo que si todavía no estabas convencido ya lo has hecho, ¿verdad? Bueno, como puede haber gente que todavía no se lo crea, dejo la siguiente variante del problema:

Imagina que no son tres, sino 100000, las puertas que tienes delante, y que hay un coche detrás de una de ellas y cabras tras las demás. Tú eliges una y el presentador, a continuación, abre 99998 puertas con 99998 cabras tras ellas, dejando por tanto una sin abrir. ¿De verdad que tendrías la misma probabilidad de ganar el coche tanto si te quedas con tu puerta como si cambias?