¿Todo número entero es la suma de, como mucho, nueve cubos?

Si tratamos de expresar un número entero como suma de cubos de enteros, ¿cuántos necesitamos? Para algunos hace falta solo uno, por ejemplo 8 = 2³, pero para otros hacen falta hasta nueve sumandos (por ejemplo, 23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³, y no hay otra forma más sencilla de expresarlo). ¿Es posible que algunos necesiten 10, 20, 200...? O, ¿es nueve el menor número de sumandos con los que se puede escribir cualquier número como suma de cubos? Así lo conjeturó en 1770 el inglés Edward Waring.

A lo largo de la historia estos problemas se estudiaban mediante el uso de computadoras humanas. Eran prodigios en el cálculo mental, no necesariamente matemáticos, que se encargaban de elaborar largas tablas de números manualmente. Uno de ellos fue Zacharias Dase, que en la mitad del siglo XIX obtuvo los primeros 200 dígitos del número pi. También estudió el problema de la suma de cubos, prestando su ayuda al célebre matemático Carl Jacobi.

Jacobi había observado que si al dividir cualquier número por 9 se tiene como resto 4 o 5 (lo que sucede para infinitos números enteros), entonces no se puede expresar como suma de tres cubos (positivos o negativos). Por tanto, podemos afirmar que como mínimo se necesitarán cuatro cubos para expresar cualquier número. Jacobi propuso a Dase construir una tabla de la expresión como suma del mínimo número de cubos positivos para todos los números menores que 12000. Así comprobaron que para todos los números de la tabla la afirmación de Waring era cierta. Si hubieran encontrado tan solo uno que no verificase la propiedad, el problema ya estaría resuelto. Sin embargo, comprobando que era cierto para 12000 no (¡aún quedarían infinitos números por verificar!). Pese a ello esta constatación, junto con otros argumentos, fue clave en la resolución de la conjetura.

Además, observaron que todos los números de la tabla excepto el 23 y el 239 podían expresarse como suma de ocho cubos; y excepto el 15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454, como la suma de siete cubos; además solo 138 enteros positivos necesitaban seis cubos, siendo el mayor de ellos 8042. Con estas observaciones, Jacobi conjeturó que, salvo un número finito de enteros, cualquier número era la suma de cinco cubos.

Hubo que esperar hasta el siglo XX para obtener avances en estos problemas. Entre 1908 y 1912 Arthur Wieferich y Alfred Kemper demostraron la afirmación de Waring. En concreto, probaron que todo entero mayor que 2,25 · (10^9) era suma de nueve cubos, y para todos los enteros menores utilizaron las tablas de R.D. von Sterneck, que ampliaban las de Dase hasta 40 000. En 1908 Edmund Landau demostró que cualquier entero era la suma de ocho cubos, salvo una cantidad finita de ellos. En 1938, Leonard Dickson probó que solo 23 y el 239 necesitan nueve cubos. Para ello necesitó la ayuda de su asistente, Evelyn Garbe, que extendió en cuatro semanas las tablas de von Sterneck hasta 123 000.

Aún queda abierto "uno de los más profundos misterios de la aritmética”, según G.H. Hardy

Posteriormente se fueron consiguiendo cotas para el menor entero que puede no ser la suma de siete cubos: Kevin McCurley probó que era un número menor que 10^500000y Olivier Ramaré, en 2007, que tenía que ser menor que 3,72 · (10^227). A la vista de tales cifras, no parecía viable comprobar todos los casos menores a la cota, uno a uno, ni con la ayuda de supercomputadoras. En 2010, nuevas ideas de Kent Bocklan y Noam Elkies permitieron resolver el caso par y recientemente, gracias al trabajo de Samir Siksek, se ha solucionado el caso impar. Estos resultados han requerido potentes ordenadores (el caso impar necesitó cerca de tres semanas de cálculo intensivo en 59 procesadores) para completar la prueba de que todos los números excepto el 15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454 son la suma de, como mucho, siete cubos.

Pero este tour de force aún no ha acabado. Resultados computacionales y heurísticos han permitido conjeturar que el mayor entero que no se puede poner como suma de seis cubos es 8042 (con 138 excepciones); como suma de cinco cubos es 1290740 (con 4060 excepciones), o como suma de cuatro cubos es 7373170279850 (con 113936676 excepciones), por el momento no hay resultados teóricos que determinen que cualquier número natural, salvo un número finito de ellos, sea la suma de a lo más seis, cinco o cuatro cubos positivos (recordemos que para tres hay infinitas excepciones). Así que aún queda abierto “uno de los más profundos misterios de la aritmética”, como denominó G.H. Hardy en 1920 a esta cuestión.

Enrique González Jiménez es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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