Suma y sigue (cavilando)

La ingeniosa solución al acertijo de las velas de la semana pasada consiste en encenderlas ambas a la vez, una por un extremo y la otra por los dos. Cuando la segunda se haya consumido por completo, habrá transcurrido media hora; entonces encendemos la primera vela también por el otro extremo y, a partir de ese momento, cuando se consuma del todo habrá pasado un cuarto de hora. Pero Ignacio Alonso plantea la razonable objeción de que una vela que arde por los dos extremos a la vez no puede estar en posición vertical, por lo que su tiempo de combustión se verá alterado. Por eso es más verosímil la variante con mechas en lugar de velas, ya que arden a la misma velocidad en cualquier posición, y de manera más homogénea que las velas. (No vale partir las velas por la mitad, pues si se pudiera determinar con precisión el punto medio, también se podría determinar una cuarta parte y no habría problema).

Hay distintas maneras de cronometrar 9 minutos con un reloj de arena de 4 y otro de 7; una de ellas se puede esquematizar así:

7/0 4/0, 3/4 0/4-4/0, 1/3 0/7-7/0, 0/4 6/1-1/6

Es decir, ponemos en funcionamiento los dos relojes a la vez, y cuando el pequeño haya trasvasado toda su arena le damos la vuelta, con lo que quedará en él 1 minuto cuando el grande se vacíe (a los 7 minutos), momento en el que le damos la vuelta a este. Cuando el pequeño trasvase el minuto que le quedaba, habrán pasado 8 minutos y habrá un minuto de arena en la parte inferior del grande: le damos la vuelta a este y cuando se trasvase ese minuto habrán pasado 9.

En el problema de las seis amigas sentadas alrededor de una mesa circular, Diana no puede estar al lado de Clara ni de Eva, y Eva no está a la derecha de Ana (a no ser que se contemple la posibilidad del incesto y Eva sea la esposa de su propio hermano), por lo que está a su izquierda. Por lo tanto, la secuencia pedida es AEBDFC.

Números por letras

Hay una amplia gama de acertijos aritméticos basados en la sustitución total o parcial de números por letras. Un clásico muy conocido, y por eso mismo de obligada mención, es el siguiente:

Un estudiante les pide dinero a sus padres, y lo hace convirtiendo su petición en una suma cifrada:

SEND

+ MORE

MONEY

¿Cuánto MONEY pide el estudiante? En este problema y en los que veremos a continuación, a cada letra le corresponde un dígito distinto, siempre el mismo, y viceversa. (¿Era necesario decir “y viceversa” o es redundante?).

Este tipo de acertijos son, en última instancia, sistemas de ecuaciones diofánticas con tantas incógnitas como letras; pero se resuelven mediante consideraciones ingeniosas que permiten saltarse muchos pasos de lo que sería un desarrollo convencional. Veamos algunos del matemático y filósofo Eric Revell Emmet (1909-1980), profesor y autor de numerosos acertijos numéricos (entre ellos los de “números cruzados”, de los que nos ocuparemos en otra ocasión).

1. Resolver la suma de dos sumandos en la que intervienen tres dígitos distintos:

XD

+ HHD

XDH

2. Resolver la suma de tres sumandos en la que aparecen todos los dígitos:

MMWXTFGGG

+ MMEXWTFGG

+ MMYFMMFGG

FTTYMCVFM

3. Una multiplicación es una suma con los sumandos repetidos, por lo que el siguiente problema pertenece a la misma “familia”:

XYP

x H

PMYX

4. Y, para terminar, una variante con dígitos engañosos en lugar de letras. En la siguiente suma, todos los dígitos son incorrectos. Pero el mismo dígito incorrecto ocupa el lugar del mismo dígito correcto todas las veces que aparece, y el mismo dígito correcto siempre está representado por el mismo dígito incorrecto.

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