El número 8

Esta es la entrega número 416 de El juego de la ciencia, lo que significa que lleva 8 años saliendo ininterrumpidamente, semana tras semana, en las páginas de MATERIA. Una buena ocasión para dar las gracias, una vez más, a los lectores y lectoras que, con sus numerosos y enriquecedores comentarios, han hecho de esta sección algo más que una columna de divulgación y pasatiempos matemáticos.

El número 416 no es especialmente interesante, pero el 8 no tiene desperdicio: es un cubo perfecto (el menor tras el caso trivial del 1), es la única potencia positiva que difiere en una unidad de otra potencia positiva, es un número de Fibonacci, es un número de Leyland, es un número de pastel, es un número tau, es un número panarítmico… Y, tumbado, representa el infinito.

En 1884, el matemático belga Eugène Catalan (el de los números que llevan su nombre, de los que nos hemos ocupado en más de una ocasión) conjeturó que 8 y 9 (2³ y 3²) eran las únicas potencias de números naturales consecutivas. La conjetura fue demostrada en 2002 por el matemático rumano Preda Mihailescu, por lo que ahora la ex conjetura de Catalan se denomina teorema de Mihailescu.

El 8 es el sexto número de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8… ¿Hay otro término de la sucesión que al igual que el 8 —y sin contar el caso trivial del 1— sea un cubo perfecto?

Los números de Leyland (por el matemático británico Paul Leyland) son los de la forma xʸ + yᵡ, donde x e y son números enteros mayores que 1, no necesariamente distintos. El primero de ellos es, por tanto, 2² + 2² = 8. Los primeros números de Leyland son:

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320…

¿Por qué crees que se excluye el 1 para los valores de x e y?

Un número de pastel de orden n es el máximo número de regiones en que un cubo puede ser dividido por n planos. El nombre procede de un conocido acertijo (del que nos hemos ocupado en algún momento) en el que se pide dividir un pastel en 8 partes iguales con solo 3 cortes. Y 8 es, por tanto, el número de pastel de orden 3. Los primeros números de pastel son:

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93…

El primer término, 1, corresponde a 0 planos, es decir, a la partición nula. ¿Puedes hallar una fórmula general para los números de pastel?

Un número tau o número refactorizable es el que es divisible por el número de divisores que tiene (incluidos el 1 y el propio número). Como el 8 tiene cuatro divisores (1, 2, 4 y 8) y es divisible por 4, 8 es un número refactorizable. Los primeros números tau son:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40…

En cuanto a la utilización de un 8 tumbado como símbolo del infinito (∞), se remonta al siglo XVII. Fue el matemático inglés John Wallis, precursor del cálculo infinitesimal, quien lo utilizó por primera vez, y al parecer se inspiró en el símbolo griego del uróboros, la serpiente que se muerde la cola como representación de un ciclo sin fin.

Por otra parte, no hay que olvidar la recurrente presencia del 8 en geometría (y muy concretamente en relación con los sólidos e hipersólidos platónicos): 8 es el número de simetrías de un cuadrado, el número de vértices de un cubo, el número de caras de un octaedro, el número de celdas de un hipercubo, hay 8 deltaedros convexos (entre ellos el tetraedro, el octaedro y el icosaedro regulares)… Todo lo cual da para unos cuantos artículos más.

Y seguro que mis sagaces lectoras y lectores descubren otras características notables del inexhaurible número 8.

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