La urna de Pólya

La versión simplificada del teorema del sándwich planteada la semana pasada fue abordada así por Rafael Granero:

“Toda recta que divida un folio en dos partes iguales tiene que pasar por su centro. Hay infinitas rectas que dividen en dos partes iguales a ese folio, y todas pasan por su centro. Para toda figura geométrica regular inserta en ese folio, alguna de esas rectas que dividen en partes iguales al folio necesariamente pasará por el centro de esa figura, por lo que la dividirá en dos partes iguales. ¿Pasará lo mismo si la figura es irregular? Dado que hay infinitas rectas que, dividiendo en dos mitades iguales al folio, dividen a la figura, y cuyo incremento/decremento de superficie de las partes es infinitesimal, la respuesta es sí: una entre esas infinitas rectas divide también la figura irregular en dos partes iguales”.

Y añadió Manuel Amorós:

“La misma idea puede generalizarse si el borde exterior no es un rectángulo sino una línea cerrada cualquiera. En este caso no hay un centro maravilloso, pero para cada inclinación posible hay una recta que divide en dos el área externa, y de todas ellas hay una que también bisecciona al área interna”.

La urna marciana

Ignacio Alonso trajo a colación este curioso problema:

La probabilidad de que llueva hoy es del 60%.

Si llueve hoy, la probabilidad de que llueva mañana aumentará en un 10%.

Si no llueve hoy, la probabilidad de que llueva mañana disminuirá en un 10%.

¿Cuál es la probabilidad de que finalmente acabe lloviendo todos los días?

Y Francisco Montesinos (esta semana la sección la han hecho casi entera los lectores, benditos sean) señaló la relación de este problema con la urna de Pólya, denominada así en honor del matemático húngaro George Pólya, conocido por sus trabajos sobre teoría de números, combinatoria y heurística, y por formar parte (junto con Paul Erdös, John von Neumann y Eugene Wigner, entre otros), del grupo de prominentes científicos húngaros conocidos como “los marcianos”.

La urna de Pólya es un modelo muy simple capaz de explicar desarrollos complejos en los que interviene el azar:

Se parte de una urna que contiene una bola negra y otra blanca. El primer paso consiste en sacar una bola, que luego se devuelve a la urna junto con otra del mismo color. Es decir, si sale una bola negra, se mete de nuevo esa bola en la urna y una negra más, de forma que en ahora habrá 2 negras y 1 blanca.

En el siguiente paso se vuelve a sacar una bola, pero ahora en la urna hay 3 bolas, 2 negras y 1 blanca, con lo que la probabilidad de sacar una bola negra, que antes era 1/2, ahora es 2/3.

Al contrario de lo que ocurre al lanzar una moneda, donde el hecho de que salga cara o cruz no afecta a lo que sucederá en lanzamientos sucesivos, en la urna de Pólya el resultado de cada extracción influye en el resultado de la siguiente.

Invito a mis sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre la aplicabilidad de este modelo a la explicación de fenómenos de la vida real que podrían tener que ver con el azar más de lo que parece. Como, por ejemplo, el hecho de que los ricos sean cada vez más ricos, o la elección final de una mujer que duda entre dos hombres (una situación típica de las comedias románticas). Así como a estudiar posibles variantes de la urna de Pólya (por ejemplo, si en vez de añadir una sola bola del mismo color que la extraída, le añadimos dos).

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